$x^3+8x^2+kx+25$ বহুপদীর একটি উৎপাদক (x + 5) হলে k এর মান নির্ণয় কর ।

দেওয়া আছে,

\(f(x) = \frac{x-3}{2x-4}\)

ধরি, \(y = f(x)\)

সুতরাং, \(y = \frac{x-3}{2x-4}\)

এখন, \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় করার জন্য \(x\) ও \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করি।

\(x = \frac{y-3}{2y-4}\)

\(x(2y-4) = y-3\)

\(2xy - 4x = y - 3\)

\(2xy - y = 4x - 3\)

\(y(2x - 1) = 4x - 3\)

\(y = \frac{4x - 3}{2x - 1}\)

অতএব, \(f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{2x - 1}\)

প্রশ্নমতে,

\(f^{-1}(x) = x\)

\(\frac{4x - 3}{2x - 1} = x\)

\(4x - 3 = x(2x - 1)\)

\(4x - 3 = 2x^2 - x\)

\(2x^2 - x - 4x + 3 = 0\)

\(2x^2 - 5x + 3 = 0\)

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই,

\(2x^2 - 2x - 3x + 3 = 0\)

\(2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0\)

\((x - 1)(2x - 3) = 0\)

হয়, \(x - 1 = 0\)

\(x = 1\)

অথবা, \(2x - 3 = 0\)

\(2x = 3\)

\(x = \frac{3}{2}\)

অতএব, \(x\) এর মান \(1\) অথবা \(\frac{3}{2}\)।

দেওয়া আছে,

$P\left(x\right)=\frac{3x^3}{(x-2)(x-3)(x-4)}$

এখানে, লবের ঘাত (৩) হরের ঘাত (৩) এর সমান। সুতরাং এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। প্রথমে এটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে।

হরের গুণফল: $(x-2)(x-3)(x-4)=(x^2-3x-2x+6)(x-4)=(x^2-5x+6)(x-4)$
$=x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24=x^3-9x^2+26x-24$

এখন, $\frac{3x^3}{x^3-9x^2+26x-24}=3+\frac{27x^2-78x+72}{x^3-9x^2+26x-24}$
$=3+\frac{27x^2-78x+72}{(x-2)(x-3)(x-4)}$

ধরি, $\frac{27x^2-78x+72}{(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x-4}\dots \left(i\right)$

(i) নং এর উভয় পক্ষকে $(x-2)(x-3)(x-4)$ দ্বারা গুণ করে পাই, $27x^2-78x+72=A(x-3)(x-4)+B(x-2)(x-4)+C(x-2)(x-3)\dots \left(ii\right)$

(ii) নং সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই, $27(2{)}^2-78(2)+72=A(2-3\left)\right(2-4)+B(0)+C(0)$
$27\left(4\right)-156+72=A(-1)(-2)$
$108-156+72=2A$
$24=2A$
$A=12$

(ii) নং সমীকরণে $x=3$ বসিয়ে পাই, $27(3{)}^2-78(3)+72=A(0)+B(3-2\left)\right(3-4)+C(0)$
$27\left(9\right)-234+72=B\left(1\right)(-1)$
$243-234+72=-B$
$81=-B$
$B=-81$

(ii) নং সমীকরণে $x=4$ বসিয়ে পাই, $27(4{)}^2-78(4)+72=A(0)+B(0)+C(4-2\left)\right(4-3)$
$27\left(16\right)-312+72=C\left(2\right)\left(1\right)$
$432-312+72=2C$
$192=2C$
$C=96$

A, B এবং C এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $\frac{27x^2-78x+72}{(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{12}{x-2}+\frac{-81}{x-3}+\frac{96}{x-4}$
$=\frac{12}{x-2}-\frac{81}{x-3}+\frac{96}{x-4}$

সুতরাং, $P\left(x\right)=3+\frac{12}{x-2}-\frac{81}{x-3}+\frac{96}{x-4}$