$P\left(x\right)=7x^5-5x^4+8a^2{x}^3+15ax-1$ এবং $f(a, b) =\frac{a + b}{a - b}$

ধরি, $P\left(x\right)=x^3-6x^2+6x-5$

x - 5 যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় তবে P(5) = 0 হবে।

∴ $P\left(5\right)=5^3-6(5{)}^2+6\times 5-5$

= 125 - 150 +30 - 5

= 0

∴ $(x-5),x^3-6x^2+6x-5$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=7x^5-5x^4+8a^2{x}^3+15ax-1$

P(x) কে (x + 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(- 1)

∴ $P(-1)=7(-1{)}^5-5(-1{)}^4+8a^2(-1{)}^3+15a(-1)-1$

$=-7-5-8a^2-15a-1$

$=-8a^2-15a-13$

আবার, P(x) কে (x - 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে, P(1)

∴ $P\left(1\right)=7(1{)}^5-5(1{)}^4+8a^2(1{)}^3+15a(1)-1$

$=7-5+8a^2+15a-1$

$=8a^2+15a+1$

প্রশ্নমতে, P(- 1) = P(1)

বা, $-8a^2-15a-13-8a^2+15a+1$

বা, $-8a^2-15a-13-8a^2-15a-1=0$

বা, $-16a^2-30a-14=0$

বা, $-2(8a^2+15a+7)=0$

বা, $8a^2+15a+7=0$

বা, $8a^2+8a+7a+7=0$

বা, 8a(a + 1) + 7(a + 1) = 0

বা, (8a + 7)(a + 1) = 0

হয়, 8a + 7 = 0

∴ $a=-\frac{7}{8}$

অথবা,

a + 1 = 0

∴ a = - 1

নির্ণেয় a এর মান : $-\frac{7}{8}$এবং -1

দেওয়া আছে,

$f(a, b) =\frac{a + b}{a - b}$

তাহলে, $f(x, y) =\frac{x + y}{x - y}$

এখন, $f(x, y) +\frac{1}{f(x, y) }=\frac{10}{3}$

বা, $\frac{x + y}{x - y}+\frac{1}{\frac{x + y}{x - y}}=\frac{10}{3}$

বা,  $\frac{x + y}{x - y}+\frac{x - y}{x + y}=\frac{10}{3}$

বা, $\frac{(x+y{)}^2+(x-y{)}^2}{(x + y)(x - y)}=\frac{10}{3}$

বা, $\frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}=\frac{10}{3}$

বা, $\frac{2(x^2+y^2)}{3}=\frac{10}{3}\left[\because x^2-y^2=3\right]$

বা, $x^2+y^2=5$ ………….. (1)

এবং $x^2-y^2=3$ ………….. (2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,

$2x^2=8$

বা, $x^2=4$

∴ $x = \pm 2$

(1) নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,

$2^2+y^2=5$

বা, $y^2=5-4$

বা, $y^2=1$

∴ $y=\pm 1$

আবার, (1) নং সমীকরণে x = - 2 বসিয়ে পাই,

$(-2{)}^2+y^2=5$

বা, $4+y^2=5$

বা, $y^2=1$

∴ $y=\pm 1$

নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (2, 1), (2, - 1), (- 2, 1), (- 2, - 1)