$p=x{y}^{a-1}, q=x{y}^{b-1}, r=x{y}^{c-1}$ এবং $\frac{1}{3t-1}+\frac{1}{{\left(3t-1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(3t-1\right)}^3}+..........$

প্রদত্ত রাশি = ${\left(2m^2 - \frac{1}{2m}\right)}^8$

এখানে, n = 8 যা জোড় সংখ্যা।

সুতরাং মধ্যপদটি= $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ

$= \left(\frac{8}{2}+1\right)=4+1=5$ তম পদ

$\therefore$ 5 বা (4+1) তম পদ ${=}^8{C}_4{\left(2m^2\right)}^{8-4}{\left(-\frac{1}{2m}\right)}^4$

${=}^8{C}_4{\left(2m^2\right)}^4{\left(-\frac{1}{2m}\right)}^4$

${=}^8{C}_4. 16m^8. {\left(-1\right)}^4.\frac{1}{2^4}.m^{-4}$

$=\frac{8.7.6.5}{1.2.3.4}.16\frac{1}{16}.m^{8-4}=70m^4$

নির্ণেয় মধ্যপদ $70m^4$

দেওয়া আছে, $p=x{y}^{a-1}$, $q=x{y}^{b-1}$এবং $r=x{y}^{c-1}$

বামপক্ষ= $(b-c) {\log }_{k}p+(c-a) {\log }_{k}q+(a-b) {\log }_{k}r$

$={\log }_k (p^{b-c}. q^{c-a}.r^{a-b})$

$={\log }_{k } \{{\left(x{y}^{a-1}\right)}^{b-c}.{\left(x{y}^{b-1}\right)}^{c-a}.{\left(x{y}^{c-1}\right)}^{a-b}\}$

$={\log }_{k } \left\{x^{b-c}.y^{(a-1) (b-c)}.x^{c-a}.y^{(b-1) (b-c)}.x^{a-b}.y^{(c-1)(a-b)}\right\}$

$={\log }_{k }\left\{ x^{b-c+c-a+a-b}.y^{(a-1) (b-c)+(b-1)(c-a)+(c-1)(a-b)}\right\}$

$={\log }_{k }\left\{ x^0.y^{ab-ac-b+c+bc-ab-c+a+ac-bc-a+b}\right\}$

$={\log }_{k }(1.y^0)$

$={\log }_{k }1$

$=0$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $(b-c) {\log }_{k}p+(c-a) {\log }_{k}q+(a-b) {\log }_{k}r=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $y=\frac{4+x}{4-x}$

$f\left(x\right)=\ln y$ হলে $f\left(x\right)=\ln \frac{4+x}{4-x}$

লগারিদম শুধু ধনাত্মক বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় বলে $\frac{4+x}{4-x}>0$

অর্থাৎ $\left(i\right) 4 +x>0$ এবং $4 - x > 0$; $\left(ii\right) 4 + x < 0$ এবং $4 - x < 0$

(i) থেকে পাই,

$4 + x > 0$

বা, $x > -4$

বা, $-4<x$

এবং  $4 - x > 0$

এবং $4 > x$

এবং $x < 4$

$\therefore$ডোমেন$=\{x : x<-4\} \cap \{x : x>4\} =\varnothing$

$\therefore$প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন, $D_f=(-4,4)\cup \varnothing =(-4,4)$

রেঞ্জ : ধরি, $y= f\left(x\right)=\ln \frac{4+x}{4-x}$

বা, $e^y=\frac{4+x}{4-x}$

বা, $4+x=4e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=4e^y-4$

বা, $x \left(1+e^y\right)=4\left(e^y-1\right)$

বা, $x =\frac{4\left(e^y-1\right)}{\left(1+e^y\right)}=\frac{4\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ, $R_f=\mathrm{ℝ}$

নির্ণেয় ডোমেন, $D_f= (-4, 4)$ এবং $R_f=\mathrm{ℝ}$