উত্তরঃ
উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। OM রেখা CD রেখার উপর লম্ব এবং এর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। RCDS একটি চতুর্ভুজ যার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে প্রথমে AB ও CD সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করে R, S, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করতে হবে।
দেওয়া আছে, A(2, -2) এবং B(-1, 4)।
AB সরলরেখার সমীকরণ,
\( \frac{y - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{x - 2}{-1 - 2} \)
\( \frac{y + 2}{6} = \frac{x - 2}{-3} \)
\( -3(y + 2) = 6(x - 2) \)
\( -3y - 6 = 6x - 12 \)
\( 6x + 3y - 6 = 0 \)
\( 2x + y - 2 = 0 \)
AB রেখা x-অক্ষকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R এর জন্য \(y=0\)।
\( 2x + 0 - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \)। সুতরাং, R(1, 0)।
AB রেখা y-অক্ষকে S বিন্দুতে ছেদ করে। S এর জন্য \(x=0\)।
\( 2(0) + y - 2 = 0 \implies y = 2 \)। সুতরাং, S(0, 2)।
যেহেতু CD রেখা AB রেখার সমান্তরাল, CD রেখার ঢাল AB রেখার ঢালের সমান।
AB রেখার ঢাল \(m_{AB} = \frac{4 - (-2)}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2\)।
সুতরাং, CD রেখার সমীকরণ \(y = -2x + c\) বা \(2x + y - c = 0\)।
মূলবিন্দু O(0,0) থেকে CD রেখার উপর লম্ব দূরত্ব \(OM = \frac{|2(0) + 1(0) - c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{5}} = \frac{|c|}{\sqrt{5}}\)।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, \(OM = 2\sqrt{5}\)।
সুতরাং, \( \frac{|c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \)
\( |c| = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} \)
\( |c| = 2 \times 5 \)
\( |c| = 10 \)।
চিত্র থেকে দেখা যায়, CD রেখা y-অক্ষের ধনাত্মক অংশ ছেদ করেছে, তাই \(c = 10\)।
CD সরলরেখার সমীকরণ \(2x + y - 10 = 0\)।
CD রেখা x-অক্ষকে C বিন্দুতে ছেদ করে। C এর জন্য \(y=0\)।
\( 2x + 0 - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \)। সুতরাং, C(5, 0)।
CD রেখা y-অক্ষকে D বিন্দুতে ছেদ করে। D এর জন্য \(x=0\)।
\( 2(0) + y - 10 = 0 \implies y = 10 \)। সুতরাং, D(0, 10)।
এখন, R(1, 0), C(5, 0), D(0, 10) এবং S(0, 2) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজ RCDS এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
SR রেখার ঢাল \(m_{SR} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2\)।
CD রেখার ঢাল \(m_{CD} = \frac{10 - 0}{0 - 5} = \frac{10}{-5} = -2\)।
যেহেতু \(m_{SR} = m_{CD}\), সুতরাং SR || CD।
অর্থাৎ, RCDS একটি ট্রাপিজিয়াম যার সমান্তরাল বাহুদ্বয় SR এবং CD।
সমান্তরাল বাহু SR এর দৈর্ঘ্য \( = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \) একক।
সমান্তরাল বাহু CD এর দৈর্ঘ্য \( = \sqrt{(5-0)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \) একক।
সমান্তরাল রেখাদ্বয় \(2x+y-2=0\) এবং \(2x+y-10=0\) এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(h\)।
\( h = \frac{|-2 - (-10)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 10|}{\sqrt{4+1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} \) একক।
RCDS ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times (\text{মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব}) \)
\( = \frac{1}{2} (SR + CD) \times h \)
\( = \frac{1}{2} (\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) \times \frac{8}{\sqrt{5}} \)
\( = \frac{1}{2} (6\sqrt{5}) \times \frac{8}{\sqrt{5}} \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
\( = 3 \times 8 \)
\( = 24 \) বর্গ একক।
সুতরাং, RCDS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ একক।
