AB ||CD, OM = $2\sqrt{5}$

AB রেখার সমীকরণ নির্ণয়

দেওয়া আছে, A(2, -2) এবং B(-1, 4) বিন্দুদ্বয়।

দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) সূত্র ব্যবহার করে পাই,

\( \frac{y - (-2)}{x - 2} = \frac{4 - (-2)}{-1 - 2} \)

\( \frac{y + 2}{x - 2} = \frac{6}{-3} \)

\( \frac{y + 2}{x - 2} = -2 \)

\( y + 2 = -2(x - 2) \)

\( y + 2 = -2x + 4 \)

\( 2x + y - 2 = 0 \)

RS রেখাংশের ছেদবিন্দু R এবং S নির্ণয়

AB রেখা x-অক্ষকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দু x-অক্ষের উপর অবস্থিত, সুতরাং \(y = 0\)।

\( 2x + 0 - 2 = 0 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \)

সুতরাং, R বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (1, 0)।

AB রেখা y-অক্ষকে S বিন্দুতে ছেদ করে। S বিন্দু y-অক্ষের উপর অবস্থিত, সুতরাং \(x = 0\)।

\( 2(0) + y - 2 = 0 \)

\( y - 2 = 0 \)

\( y = 2 \)

সুতরাং, S বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 2)।

RS রেখাংশের সমত্রিখণ্ডক বিন্দুদ্বয় নির্ণয়

ধরি, RS রেখাংশের সমত্রিখণ্ডক বিন্দুদ্বয় P এবং Q। P বিন্দু RS-কে 1:2 অনুপাতে এবং Q বিন্দু RS-কে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র \( \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right) \) ব্যবহার করে পাই,

P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(m=1, n=2, R(1,0), S(0,2)\)):

\( P_x = \frac{1(0) + 2(1)}{1 + 2} = \frac{2}{3} \)

\( P_y = \frac{1(2) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{2}{3} \)

সুতরাং, \( P = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \)।

Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(m=2, n=1, R(1,0), S(0,2)\)):

\( Q_x = \frac{2(0) + 1(1)}{2 + 1} = \frac{1}{3} \)

\( Q_y = \frac{2(2) + 1(0)}{2 + 1} = \frac{4}{3} \)

সুতরাং, \( Q = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) \)।

মূলবিন্দু O(0,0) এর সাথে P এবং Q বিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয়

O(0,0) এবং \( P\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:

যেহেতু রেখাটি মূলবিন্দুগামী, এর সমীকরণ \(y = mx\) আকারের হবে। এখানে, \(m = \frac{y_P}{x_P} = \frac{2/3}{2/3} = 1\)।

\( y = 1 \cdot x \)

\( y = x \)

বা, \( x - y = 0 \)

O(0,0) এবং \( Q\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) \) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:

এখানে, \(m = \frac{y_Q}{x_Q} = \frac{4/3}{1/3} = 4\)।

\( y = 4 \cdot x \)

বা, \( 4x - y = 0 \)

অতএব, RS এর সমত্রিখণ্ডক বিন্দুর সাথে মূল বিন্দুর সংযোগ রেখা দুটির সমীকরণ হলো \( x - y = 0 \) এবং \( 4x - y = 0 \)।

উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। OM রেখা CD রেখার উপর লম্ব এবং এর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। RCDS একটি চতুর্ভুজ যার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে প্রথমে AB ও CD সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করে R, S, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করতে হবে।

দেওয়া আছে, A(2, -2) এবং B(-1, 4)।

AB সরলরেখার সমীকরণ, \( \frac{y - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{x - 2}{-1 - 2} \) \( \frac{y + 2}{6} = \frac{x - 2}{-3} \) \( -3(y + 2) = 6(x - 2) \) \( -3y - 6 = 6x - 12 \) \( 6x + 3y - 6 = 0 \) \( 2x + y - 2 = 0 \)

AB রেখা x-অক্ষকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R এর জন্য \(y=0\)। \( 2x + 0 - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \)। সুতরাং, R(1, 0)।

AB রেখা y-অক্ষকে S বিন্দুতে ছেদ করে। S এর জন্য \(x=0\)। \( 2(0) + y - 2 = 0 \implies y = 2 \)। সুতরাং, S(0, 2)।

যেহেতু CD রেখা AB রেখার সমান্তরাল, CD রেখার ঢাল AB রেখার ঢালের সমান। AB রেখার ঢাল \(m_{AB} = \frac{4 - (-2)}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2\)। সুতরাং, CD রেখার সমীকরণ \(y = -2x + c\) বা \(2x + y - c = 0\)।

মূলবিন্দু O(0,0) থেকে CD রেখার উপর লম্ব দূরত্ব \(OM = \frac{|2(0) + 1(0) - c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{5}} = \frac{|c|}{\sqrt{5}}\)।

প্রশ্নে দেওয়া আছে, \(OM = 2\sqrt{5}\)। সুতরাং, \( \frac{|c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \) \( |c| = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} \) \( |c| = 2 \times 5 \) \( |c| = 10 \)।

চিত্র থেকে দেখা যায়, CD রেখা y-অক্ষের ধনাত্মক অংশ ছেদ করেছে, তাই \(c = 10\)।

CD সরলরেখার সমীকরণ \(2x + y - 10 = 0\)।

CD রেখা x-অক্ষকে C বিন্দুতে ছেদ করে। C এর জন্য \(y=0\)। \( 2x + 0 - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \)। সুতরাং, C(5, 0)।

CD রেখা y-অক্ষকে D বিন্দুতে ছেদ করে। D এর জন্য \(x=0\)। \( 2(0) + y - 10 = 0 \implies y = 10 \)। সুতরাং, D(0, 10)।

এখন, R(1, 0), C(5, 0), D(0, 10) এবং S(0, 2) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজ RCDS এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

SR রেখার ঢাল \(m_{SR} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2\)।

CD রেখার ঢাল \(m_{CD} = \frac{10 - 0}{0 - 5} = \frac{10}{-5} = -2\)।

যেহেতু \(m_{SR} = m_{CD}\), সুতরাং SR || CD। অর্থাৎ, RCDS একটি ট্রাপিজিয়াম যার সমান্তরাল বাহুদ্বয় SR এবং CD।

সমান্তরাল বাহু SR এর দৈর্ঘ্য \( = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \) একক।

সমান্তরাল বাহু CD এর দৈর্ঘ্য \( = \sqrt{(5-0)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \) একক।

সমান্তরাল রেখাদ্বয় \(2x+y-2=0\) এবং \(2x+y-10=0\) এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(h\)। \( h = \frac{|-2 - (-10)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 10|}{\sqrt{4+1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} \) একক।

RCDS ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times (\text{মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব}) \) \( = \frac{1}{2} (SR + CD) \times h \) \( = \frac{1}{2} (\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) \times \frac{8}{\sqrt{5}} \) \( = \frac{1}{2} (6\sqrt{5}) \times \frac{8}{\sqrt{5}} \) \( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \) \( = 3 \times 8 \) \( = 24 \) বর্গ একক।

সুতরাং, RCDS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ একক।