উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, \(0^\circ C\) তাপমাত্রায় শব্দের বেগ \(V_0 = 330 \, m/s\) এবং বাতাসে তাপমাত্রা \(t = 20^\circ C\)। আমরা জানি যে, বাতাসে \(t^\circ C\) তাপমাত্রায় শব্দের বেগ \(V_t = V_0 + 0.6t\)। এই সূত্র ব্যবহার করে \(20^\circ C\) তাপমাত্রায় শব্দের বেগ নির্ণয় করা যায়: \(V_{20} = 330 + (0.6 \times 20)\) \(V_{20} = 330 + 12\) \(V_{20} = 342 \, m/s\)

'M' অবস্থান থেকে শব্দ সৃষ্টি করার পর \(0.5 \, s\) পর প্রতিধ্বনি শোনা যায়, অর্থাৎ শব্দ 'M' থেকে 'R' প্রতিফলকে গিয়ে আবার 'M' অবস্থানে ফিরে আসে। এই পুরো পথ অতিক্রম করতে শব্দ মোট \(0.5 \, s\) সময় নেয়। যদি 'M' অবস্থান থেকে 'R' প্রতিফলকের দূরত্ব \(S\) হয়, তবে শব্দ মোট \(2S\) দূরত্ব অতিক্রম করে। শব্দের বেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক হলো \(2S = V_t \times T\)। এখানে, \(V_t = 342 \, m/s\) এবং প্রতিধ্বনি শুনতে প্রয়োজনীয় সময় \(T = 0.5 \, s\)। অতএব, \(2S = 342 \times 0.5\) \(2S = 171 \, m\)

শব্দ দ্বারা অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব \(171 \, m\) হওয়ার কারণে, 'M' অবস্থান থেকে 'R' প্রতিফলকের একক দূরত্ব হবে এই মোট দূরত্বের অর্ধেক। অর্থাৎ, 'M' অবস্থান থেকে 'R' প্রতিফলকের দূরত্ব \(S = \frac{171}{2}\) \(S = 85.5 \, m\) সুতরাং, 'M' অবস্থান থেকে R প্রতিফলকের দূরত্ব হলো 85.5 মিটার।

উদ্দীপক অনুসারে, 'M' অবস্থানে দাঁড়িয়ে থাকা ব্যক্তি 0.5 সেকেন্ড পর শব্দের প্রতিধ্বনি শুনতে পায়। 'T' অবস্থানে দাঁড়িয়ে থাকা কোনো ব্যক্তি উক্ত শব্দের প্রতিধ্বনি শুনতে পাবে কি-না, তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো।

১. শব্দের বেগ নির্ণয়:
উদ্দীপকে দেওয়া আছে, 0 °C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ \(V_0 = 330 \text{ m s}^{-1}\) এবং পরিবেশের তাপমাত্রা \(t = 20 \text{ °C}\)।
আমরা জানি, \(t\) °C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ \(V_t = V_0 + 0.61t\)
\(V_{20} = 330 + 0.61 \times 20\)
\(V_{20} = 330 + 12.2\)
\(V_{20} = 342.2 \text{ m s}^{-1}\)
সুতরাং, 20 °C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ 342.2 m s^-1।

২. T ও R এর মধ্যবর্তী দূরত্ব ('d') নির্ণয়:
'M' অবস্থানে থাকা ব্যক্তি 0.5 সেকেন্ড পর প্রতিধ্বনি শুনতে পায়। অর্থাৎ, শব্দ M থেকে প্রতিফলক R-এ গিয়ে আবার M-এ ফিরে আসতে 0.5 সেকেন্ড সময় লাগে।
শব্দ কর্তৃক অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = \(V_{20} \times t\)
\(2 \times D_{MR} = 342.2 \times 0.5\)
\(2 \times D_{MR} = 171.1 \text{ m}\)
\(D_{MR} = \frac{171.1}{2} = 85.55 \text{ m}\)
চিত্রানুযায়ী, M থেকে R এর দূরত্ব \(D_{MR} = (\text{M থেকে T এর দূরত্ব}) + (\text{T থেকে R এর দূরত্ব})\)
\(85.55 = 40 + d\)
\(d = 85.55 - 40 = 45.55 \text{ m}\)
অর্থাৎ, T ও R এর মধ্যবর্তী দূরত্ব 45.55 m।

৩. 'T' অবস্থানে প্রতিধ্বনি শোনা যাবে কি-না তার বিশ্লেষণ:
কোনো শব্দ শুনতে পাওয়ার জন্য শব্দের উৎস ও প্রতিফলকের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব প্রয়োজন, যেন মূল শব্দ ও প্রতিধ্বনির মধ্যে কমপক্ষে 0.1 সেকেন্ডের সময়ের পার্থক্য থাকে। 20 °C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ 342.2 m s^-1।
ন্যূনতম দূরত্ব \(D_{min} = \frac{V_t \times \text{ন্যূনতম সময়}}{2}\)
\(D_{min} = \frac{342.2 \times 0.1}{2} = \frac{34.22}{2} = 17.11 \text{ m}\)
অর্থাৎ, T অবস্থানে থাকা ব্যক্তি কর্তৃক প্রতিধ্বনি শোনার জন্য T ও প্রতিফলক R এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কমপক্ষে 17.11 মিটার হতে হবে।
আমরা পূর্বে গণনা করে পেয়েছি, T ও R এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d = 45.55 \text{ m}\)।
যেহেতু, T ও R এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(45.55 \text{ m} > 17.11 \text{ m}\), তাই 'T' অবস্থানে থাকা ব্যক্তি প্রতিধ্বনি শুনতে পাবে।
এছাড়াও, 'T' অবস্থানে থাকা ব্যক্তির জন্য প্রতিধ্বনি শুনতে যে সময় লাগবে:
সময় = \(\frac{2d}{V_{20}} = \frac{2 \times 45.55}{342.2} = \frac{91.1}{342.2} \approx 0.266 \text{ s}\)
যেহেতু এই সময় 0.1 সেকেন্ডের চেয়ে বেশি (0.266 s > 0.1 s), তাই 'T' অবস্থানে থাকা ব্যক্তি একটি স্পষ্ট প্রতিধ্বনি শুনতে পাবে।

৪. মতামত:
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, 'T' অবস্থানে দাঁড়িয়ে থাকা ব্যক্তি ও প্রতিফলকের মধ্যবর্তী দূরত্ব (45.55 m) প্রতিধ্বনি শোনার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম দূরত্ব (17.11 m) অপেক্ষা বেশি। উপরন্তু, প্রতিধ্বনি শুনতে প্রয়োজনীয় সময় (0.266 s) ন্যূনতম সময়ের ব্যবধান (0.1 s) অপেক্ষা বেশি। অতএব, 'T' অবস্থানে দাঁড়িয়ে থাকা কোনো ব্যক্তি উক্ত শব্দের প্রতিধ্বনি শুনতে পাবে।