পয়সনের অনুপাত (Poisson's ratio): একটি বস্তুকে এর দৈর্ঘ্যের দিকে বল প্রয়োগ করে প্রসারণ বা সংকোচন করলে, এর দৈর্ঘ্য বিকৃতির (longitudinal strain) সাথে সাথে এর প্রস্থ বা ব্যাসেরও পরিবর্তন হয়, যা পার্শ্বীয় বিকৃতি (lateral strain) সৃষ্টি করে। স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে, পার্শ্বীয় বিকৃতি এবং দৈর্ঘ্য বিকৃতির অনুপাত একটি ধ্রুবক হয়, যাকে পয়সনের অনুপাত বলে। এটি \(\nu\) (নিউ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিকভাবে,

যেখানে, \(\Delta D\) হলো ব্যাসের পরিবর্তন, \(D\) হলো মূল ব্যাস, \(\Delta L\) হলো দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন এবং \(L\) হলো মূল দৈর্ঘ্য। ঋণাত্মক চিহ্নটি বোঝায় যে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেলে ব্যাস হ্রাস পায় এবং দৈর্ঘ্য হ্রাস পেলে ব্যাস বৃদ্ধি পায়।

পয়সনের অনুপাতের মানের সীমা (-1 থেকে \(\frac{1}{2}\) এর মধ্যে থাকে) প্রদর্শন:

পয়সনের অনুপাত (\(\nu\)) স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্কগুলির (elastic moduli) সাথে সম্পর্কিত। ইয়াং-এর গুণাঙ্ক (Young's modulus, \(Y\)), আয়তন গুণাঙ্ক (Bulk modulus, \(K\)) এবং কৃন্তন গুণাঙ্ক (Shear modulus, \(G\)) এর মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি বিদ্যমান:

যেহেতু ইয়াং-এর গুণাঙ্ক \(Y\), আয়তন গুণাঙ্ক \(K\) এবং কৃন্তন গুণাঙ্ক \(G\) বাস্তব পদার্থগুলির জন্য সর্বদা ধনাত্মক হয় (অর্থাৎ \(Y > 0\), \(K > 0\), \(G > 0\)), আমরা এই সম্পর্কগুলি থেকে \(\nu\)-এর সীমা নির্ধারণ করতে পারি।

১. প্রথম সম্পর্ক থেকে (\(Y = 3K(1 - 2\nu)\)):

যেহেতু \(Y > 0\) এবং \(K > 0\), তাই \((1 - 2\nu)\) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

এই শর্ত থেকে আমরা পাই যে পয়সনের অনুপাত \(\frac{1}{2}\) এর চেয়ে ছোট হবে।

২. দ্বিতীয় সম্পর্ক থেকে (\(Y = 2G(1 + \nu)\)):

যেহেতু \(Y > 0\) এবং \(G > 0\), তাই \((1 + \nu)\) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

এই শর্ত থেকে আমরা পাই যে পয়সনের অনুপাত -1 এর চেয়ে বড় হবে।

উপরে প্রাপ্ত দুটি শর্ত একত্রিত করে আমরা পাই যে পয়সনের অনুপাতের মান -1 থেকে \(\frac{1}{2}\) এর মধ্যে থাকে।

অধিকাংশ সাধারণ পদার্থের জন্য পয়সনের অনুপাতের মান 0 থেকে 0.5 এর মধ্যে থাকে। ঋণাত্মক পয়সনের অনুপাতযুক্ত পদার্থগুলি (যেমন, অক্সিটিক পদার্থ - auxetic materials) বিরল এবং এদেরকে প্রসারিত করলে প্রস্থও বৃদ্ধি পায়।

পৃষ্ঠটান (Surface Tension):

পৃষ্ঠটান হলো তরল পৃষ্ঠের একটি বিশেষ ধর্ম, যার কারণে তরলের মুক্ত পৃষ্ঠ টানটান করা স্থিতিস্থাপক পর্দার মতো আচরণ করে এবং এর ক্ষেত্রফল সর্বনিম্ন করার চেষ্টা করে। পারিপার্শ্বিক অঞ্চলের সাথে ভারসাম্যপূর্ণ অবস্থায়, তরল পৃষ্ঠে অঙ্কিত যেকোনো কাল্পনিক রেখার প্রতি একক দৈর্ঘ্যে, রেখাটির সাথে লম্বভাবে এবং পৃষ্ঠের সমান্তরালভাবে যে বল ক্রিয়া করে, তাকে ওই তরলের পৃষ্ঠটান বলে। এর আদর্শ একক হলো নিউটন/মিটার (N/m) এবং সি.জি.এস. একক ডাইন/সেমি (dyne/cm)।

দেখানো হলো যে, পৃষ্ঠশক্তির মান সংখ্যাগতভাবে পৃষ্ঠটানের সমান:

ধরা যাক, একটি আয়তাকার তারের ফ্রেম PQRS এর একটি চলনশীল (movable) বাহু RS যার দৈর্ঘ্য \(l\)। এই ফ্রেমের উপর একটি সাবানের পাতলা ফিল্ম (film) তৈরি করা হলো।

সাবান ফিল্মের দুটি মুক্ত পৃষ্ঠ থাকে (সামনের ও পেছনের দিক), তাই পৃষ্ঠটান কার্যকর হওয়ার জন্য মোট কার্যকর দৈর্ঘ্য হবে \(2l\)।

যদি সাবান ফিল্মের পৃষ্ঠটান \(T\) হয়, তাহলে RS বাহুকে ফিল্মের দিকে টানতে প্রয়োজনীয় বল হবে,

\(F = T \times (2l)\) ....... (i)

এখন, যদি এই \(F\) বল প্রয়োগ করে RS বাহুকে \(\text{dx}\) পরিমাণ দূরে R'S' অবস্থানে সরিয়ে নেওয়া হয়, তাহলে ফিল্মের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়।

ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি \(\text{dA} = (2l) \times \text{dx}\) (যেহেতু দুটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়)

RS বাহুকে \(\text{dx}\) দূরত্ব সরাতে কৃতকার্য \(\text{dW} = F \times \text{dx}\) ...... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে \(F\)-এর মান সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,

\(\text{dW} = (T \times 2l) \times \text{dx}\)

\(\text{dW} = T \times (2l \times \text{dx})\)

আমরা জানি যে, \(\text{dA} = 2l \times \text{dx}\)। অতএব, ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি \(\text{dA}\) ব্যবহার করে পাই,

\(\text{dW} = T \times \text{dA}\) ....... (iii)

এই কৃতকার্যই সাবান ফিল্মের মধ্যে পৃষ্ঠশক্তি (\(E_s\)) রূপে সঞ্চিত হয়। সুতরাং, পৃষ্ঠশক্তির পরিবর্তন \(\text{dE}_s\) এই কৃতকার্যের সমান।

\(\text{dE}_s = \text{dW}\)

অতএব,

\(\text{dE}_s = T \times \text{dA}\)

বা,

\(T = \frac{\text{dE}_s}{\text{dA}}\)

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, প্রতি একক ক্ষেত্রফল বৃদ্ধিতে পৃষ্ঠশক্তির যে পরিবর্তন ঘটে (\(\frac{\text{dE}_s}{\text{dA}}\)), তার মান পৃষ্ঠটানের (\(T\)) সমান। অর্থাৎ, পৃষ্ঠশক্তির মান সংখ্যাগতভাবে পৃষ্ঠটানের সমান।

পৃষ্ঠশক্তির একক হলো জুল/বর্গমিটার (J/m²) এবং পৃষ্ঠটানের একক হলো নিউটন/মিটার (N/m)। যেহেতু 1 জুল (J) = 1 নিউটন-মিটার (N.m), তাই 1 J/m² = 1 N.m/m² = 1 N/m। সুতরাং, এদের এককও সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা এই গাণিতিক সম্পর্ককে সমর্থন করে।