Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

118

f : R \to R

ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা করুন। যেখানে,

f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 & য খ ন & x < 0 \\ x & য খ ন & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & য খ ন & x > 1 \end{cases}

Add Explanation

(খ)

\frac{x}{\ln x}

এর লঘিষ্ঠ মান নির্ণয় করুন।

Add Explanation

118

MCQ: 79 CQ: 20

Practice

ফাংশন (Function)

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f : A \to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$

ফাংশনের শর্ত

A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f (2) = 4$

বৈশিষ্ট্য

ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y = x^{2} - 2 x + 3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$∴ ƒ (- 1) = (- 1) ² - 4 (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

উদাহরণ ২. যদি $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$

$∴ g (- 2) = {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$∴$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$∴$ a = 2 হলে, g(-2) = 0

Related Question

View All

(খ)

h (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}

ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ (Range) নির্ণয় করুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 গণিত 2023 ফাংশন (Function)

495

উত্তরঃ

ডোমেন নির্ণয়:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো $h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$।

একটি বর্গমূল ফাংশন সংজ্ঞায়িত হতে হলে, বর্গমূল চিহ্নের ভেতরের মান অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে।

সুতরাং, $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ হতে হবে।

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$x^2 - x - 3x + 3 \ge 0$

$x(x - 1) - 3(x - 1) \ge 0$

$(x - 1)(x - 3) \ge 0$

এই অসমতাটি সত্য হবে যখন:

১. উভয় উৎপাদকই অঋণাত্মক হয়: $(x - 1) \ge 0$ এবং $(x - 3) \ge 0$

$x \ge 1$ এবং $x \ge 3$

এক্ষেত্রে, $x \ge 3$

২. উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক হয়: $(x - 1) \le 0$ এবং $(x - 3) \le 0$

$x \le 1$ এবং $x \le 3$

এক্ষেত্রে, $x \le 1$

অতএব, ফাংশনটির ডোমেন হলো $x \le 1$ অথবা $x \ge 3$।

ডোমেন: $(-\infty, 1] \cup [3, \infty)$

রেঞ্জ (Range) নির্ণয়:

ধরি, $y = h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$

যেহেতু $y$ একটি বর্গমূলের ফলাফল, সেহেতু $y \ge 0$ হবে।

আমরা বর্গমূলের ভেতরের রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করি:

$x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1$

সুতরাং, $y = \sqrt{(x - 2)^2 - 1}$

আমরা জানি, ডোমেন হলো $x \le 1$ অথবা $x \ge 3$।

১. যদি $x \le 1$ হয়, তাহলে $x - 2 \le -1$। সুতরাং, $(x - 2)^2 \ge (-1)^2 = 1$।

২. যদি $x \ge 3$ হয়, তাহলে $x - 2 \ge 1$। সুতরাং, $(x - 2)^2 \ge (1)^2 = 1$।

উভয় ক্ষেত্রেই, $(x - 2)^2 \ge 1$

অতএব, $(x - 2)^2 - 1 \ge 1 - 1 = 0$

বর্গমূলের ভেতরের রাশি $(x - 2)^2 - 1$ এর সর্বনিম্ন মান $0$ হয়, যখন $(x - 2)^2 = 1$ অর্থাৎ $x - 2 = \pm 1$ হয়। এর থেকে $x = 3$ অথবা $x = 1$ পাই, যা ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত।

$x$ এর মান $1$ থেকে $-\infty$ এর দিকে গেলে অথবা $3$ থেকে $\infty$ এর দিকে গেলে $(x - 2)^2 - 1$ এর মান $\infty$ এর দিকে যায়।

সুতরাং, $\sqrt{(x - 2)^2 - 1}$ এর সর্বনিম্ন মান $\sqrt{0} = 0$ এবং সর্বোচ্চ মান $\infty$ হবে।

রেঞ্জ: $[0, \infty)$