মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ও সে. মি.।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান।

সুতরাং, চিত্রে AB. AC = 2R. AD  [এখানে AD লম্ব ও 2R পরিবৃত্তের ব্যাস]

$A{B}^2 = 2R. AD ..... \left(i\right)$  [ABC সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় AB = AC]

$∆$ABC-এর BO = AO=3 সে. মি.

AO যোগ করে বর্ধিত করায় AD মধ্যমা।

এখন, যেহেতু BO=AO = 3 সে. মি.

$$\begin{gathered} OD=\frac{3}{2}cm \\ AD=AO+OD \\ =3+\frac{3}{2} \\ =\frac{9}{2} \end{gathered}$$

এখন, সমীকরণ (i)-এ সংশ্লিষ্ট মান বসিয়ে পাই,

$A{B}^2=2R.AD=2\times 3\times \frac{9}{2}=27$

$AB = \sqrt{27} = \sqrt{9.3} = 3\sqrt{3}$

∆ABC-এর বাহুর দৈর্ঘ্য  $3\sqrt{3}$ সে. মি.।

এখানে, AD²-AB. AC-BD.CD হবে যদি ABC ত্রিভুজের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। এখানে, ABC ত্রিভুজের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক রেখাংশ BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাতে হবে যে, $A{D}^2= AB. AC-BD. CD$

অঙ্কন: E, C যোগ করি।

প্রমাণ: $∆$ABD এবং $∆$CDE-এ ∠ABD = ∠CED

এবং ∠ADB = ∠CDE [বিপ্রতীপ কোণ]

ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

$$\begin{gathered} \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{DE} \\ AD. DE = CD. BD \end{gathered}$$

[বহুগুণন করে]

আবার, $∆$ABD এবং $∆$ACE-এর মধ্যে

$\angle BAD=\angle CAE$ [AD, $\angle$A-এর সমদ্বিখণ্ডক]

$\angle ABD =\angle AEC$

ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ,

$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$

$AB.AC=AD. AE$

$$\begin{gathered} =AD (AD+DE) \\ = A{D}^2+ AD. DE \\ = A{D}^2+CD, BD \\ AD = AB. AC-CD. BD \end{gathered}$$

সুতরাং $A{D}^2 = AB. AC-BD.CD$ (দেখানো হলো)

মনে করি, EF একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং পূর্বে অঙ্কিত পরিব্যাসার্ধের O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু P। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে P বিন্দুতে ও EF সরলরেখাকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. O, P যোগ করি।
ধাপ ২. P বিন্দুতে PD স্পর্শক অঙ্কন করি। যেন তা EF কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩. ∠PDF এর সমদ্বিখন্ডক অঙ্কন করি। OP কে বর্ধিত করায় তা সমদ্বিখণ্ডককে O' বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. O' থেকে EF এর উপর O'A লম্ব আঁকি।
ধাপ ৫. এখন O' কে কেন্দ্র করে O'A বা O'P এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABP বৃত্ত অঙ্কন করি।

তাহলে, ABP-ই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।