উত্তরঃ

ডোমেন নির্ণয়:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো \(h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}\)।

একটি বর্গমূল ফাংশন সংজ্ঞায়িত হতে হলে, বর্গমূল চিহ্নের ভেতরের মান অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে।

সুতরাং, \(x^2 - 4x + 3 \ge 0\) হতে হবে।

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

\(x^2 - x - 3x + 3 \ge 0\)

\(x(x - 1) - 3(x - 1) \ge 0\)

\((x - 1)(x - 3) \ge 0\)

এই অসমতাটি সত্য হবে যখন:

১. উভয় উৎপাদকই অঋণাত্মক হয়: \((x - 1) \ge 0\) এবং \((x - 3) \ge 0\)

\(x \ge 1\) এবং \(x \ge 3\)

এক্ষেত্রে, \(x \ge 3\)

২. উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক হয়: \((x - 1) \le 0\) এবং \((x - 3) \le 0\)

\(x \le 1\) এবং \(x \le 3\)

এক্ষেত্রে, \(x \le 1\)

অতএব, ফাংশনটির ডোমেন হলো \(x \le 1\) অথবা \(x \ge 3\)।

ডোমেন: \((-\infty, 1] \cup [3, \infty)\)

রেঞ্জ (Range) নির্ণয়:

ধরি, \(y = h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}\)

যেহেতু \(y\) একটি বর্গমূলের ফলাফল, সেহেতু \(y \ge 0\) হবে।

আমরা বর্গমূলের ভেতরের রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করি:

\(x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1\)

সুতরাং, \(y = \sqrt{(x - 2)^2 - 1}\)

আমরা জানি, ডোমেন হলো \(x \le 1\) অথবা \(x \ge 3\)।

১. যদি \(x \le 1\) হয়, তাহলে \(x - 2 \le -1\)। সুতরাং, \((x - 2)^2 \ge (-1)^2 = 1\)।

২. যদি \(x \ge 3\) হয়, তাহলে \(x - 2 \ge 1\)। সুতরাং, \((x - 2)^2 \ge (1)^2 = 1\)।

উভয় ক্ষেত্রেই, \((x - 2)^2 \ge 1\)

অতএব, \((x - 2)^2 - 1 \ge 1 - 1 = 0\)

বর্গমূলের ভেতরের রাশি \((x - 2)^2 - 1\) এর সর্বনিম্ন মান \(0\) হয়, যখন \((x - 2)^2 = 1\) অর্থাৎ \(x - 2 = \pm 1\) হয়। এর থেকে \(x = 3\) অথবা \(x = 1\) পাই, যা ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত।

\(x\) এর মান \(1\) থেকে \(-\infty\) এর দিকে গেলে অথবা \(3\) থেকে \(\infty\) এর দিকে গেলে \((x - 2)^2 - 1\) এর মান \(\infty\) এর দিকে যায়।

সুতরাং, \(\sqrt{(x - 2)^2 - 1}\) এর সর্বনিম্ন মান \(\sqrt{0} = 0\) এবং সর্বোচ্চ মান \(\infty\) হবে।

রেঞ্জ: \([0, \infty)\)

উত্তরঃ

ধাপ ১: প্রদত্ত সমীকরণ এবং মূলসমূহ

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[x^3+px^2+qx+r=0\]

এই সমীকরণের মূলগুলি হলো \( \alpha, \beta, \gamma \)।

ধাপ ২: ভিয়েটার সূত্রাবলী ব্যবহার

মূল ও সহগের সম্পর্ক (ভিয়েটার সূত্র) থেকে পাই:

\(\alpha + \beta + \gamma = -p\)

\(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q\)

\(\alpha\beta\gamma = -r\)

ধাপ ৩: নতুন মূলের সরলীকরণ

ধরি, নতুন সমীকরণের একটি মূল হলো \(y\)। প্রশ্ন অনুযায়ী, নতুন মূলগুলি হলো \(\beta\gamma-\alpha^2, \gamma\alpha-\beta^2, \alpha\beta-\gamma^2\)।

যেকোনো একটি মূলকে বিবেচনা করি, যেমন: \(y = \beta\gamma-\alpha^2\)

\(\alpha\beta\gamma = -r\) থেকে পাই, \(\beta\gamma = -r/\alpha\)।

সুতরাং,

\[y = -\frac{r}{\alpha} - \alpha^2\] \[y = \frac{-r - \alpha^3}{\alpha}\]

যেহেতু \( \alpha \) মূল সমীকরণের একটি মূল, তাই \( \alpha^3+p\alpha^2+q\alpha+r=0 \)।

অর্থাৎ, \( \alpha^3 = -p\alpha^2-q\alpha-r \)।

এই মানটি \(y\) এর সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[y = \frac{-r - (-p\alpha^2-q\alpha-r)}{\alpha}\] \[y = \frac{-r + p\alpha^2 + q\alpha + r}{\alpha}\] \[y = \frac{p\alpha^2 + q\alpha}{\alpha}\]

যদি \( \alpha \neq 0 \) হয়, তবে,

\[y = p\alpha + q\]

সুতরাং, নতুন মূলগুলি \(px+q\) আকারের। অর্থাৎ, যদি পুরাতন সমীকরণের মূল \(x\) হয়, তবে নতুন সমীকরণের মূল \(y = px+q\) হবে।

ধাপ ৪: মূল প্রতিস্থাপন

ধরি, \(y = px+q\)।

এখান থেকে \(x\) এর মান বের করি:

\(px = y-q\)

\(x = \frac{y-q}{p}\)

ধাপ ৫: নতুন সমীকরণ নির্ণয়

\(x\) এর মানকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[\left(\frac{y-q}{p}\right)^3 + p\left(\frac{y-q}{p}\right)^2 + q\left(\frac{y-q}{p}\right) + r = 0\]

সমীকরণটিকে সরলীকরণ করি:

\[\frac{(y-q)^3}{p^3} + \frac{p(y-q)^2}{p^2} + \frac{q(y-q)}{p} + r = 0\] \[\frac{(y-q)^3}{p^3} + \frac{(y-q)^2}{p} + \frac{q(y-q)}{p} + r = 0\]

উভয়পক্ষকে \(p^3\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[(y-q)^3 + p^2(y-q)^2 + p^2q(y-q) + p^3r = 0\]

এখন, পদগুলো বিস্তৃত করি:

\((y-q)^3 = y^3 - 3qy^2 + 3q^2y - q^3\)

\(p^2(y-q)^2 = p^2(y^2 - 2qy + q^2) = p^2y^2 - 2p^2qy + p^2q^2\)

\(p^2q(y-q) = p^2qy - p^2q^2\)

এগুলো যোগ করে পাই:

\(y^3 - 3qy^2 + 3q^2y - q^3 + p^2y^2 - 2p^2qy + p^2q^2 + p^2qy - p^2q^2 + p^3r = 0\)

\(y\) এর বিভিন্ন ঘাতের পদগুলিকে একত্রিত করি:

\(y^3 + (p^2 - 3q)y^2 + (3q^2 - 2p^2q + p^2q)y + (-q^3 + p^2q^2 - p^2q^2 + p^3r) = 0\)

\[y^3 + (p^2 - 3q)y^2 + (3q^2 - p^2q)y + (p^3r - q^3) = 0\]

এটিই নির্ণেয় সমীকরণ।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, সমীকরণটি হলো: \(x^3-6x^2+11x-6=0\)

প্রথমে সিনথেটিক ভাগ পদ্ধতির সাহায্যে সমীকরণের মূলগুলি নির্ণয় করতে হবে। ধ্রুবক পদ -6 এর গুণনীয়কগুলি হলো \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)।

\(x=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0\)

যেহেতু \(P(1)=0\), তাই \(x=1\) একটি মূল। এখন সিনথেটিক ভাগ পদ্ধতি প্রয়োগ করি:

1 | 1  -6  11  -6
  |    1  -5   6
  -----------------
    1  -5   6   0

ভাগফল দ্বারা প্রাপ্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

এই দ্বিঘাত সমীকরণটির মূল নির্ণয় করি:

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(x^2 - 2x - 3x + 6 = 0\)
\(x(x-2) - 3(x-2) = 0\)
\((x-2)(x-3) = 0\)

সুতরাং, \(x-2=0\) অথবা \(x-3=0\)

অতএব, \(x=2\) অথবা \(x=3\)

সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো \(1, 2, 3\)।

এখন, \(S_4\) নির্ণয় করি। \(S_4\) হলো মূলগুলির চতুর্থ ঘাতের যোগফল।

\(S_4 = 1^4 + 2^4 + 3^4\)
\(S_4 = 1 + 16 + 81\)
\(S_4 = 98\)

সুতরাং, \(S_4 = 98\)।