x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: \(\frac{a^2+2}{2a}\)

প্রথমে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)

\(a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\)

\(a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3\)

\(a^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে \(a\) এবং \(a^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}\)

\(= \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(= \sqrt{5}\)

সুতরাং, \(\frac{a^2+2}{2a}\) এর মান \(\sqrt{5}\)।

দেওয়া আছে,

\(P = \sin\theta\)

\(Q = \cos\theta\)

এবং \(PQ = \frac{1}{2}\)

আমরা জানি,

\((P+Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\)

এখানে, \(P^2 + Q^2 = (\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta\)

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

সুতরাং, \(P^2 + Q^2 = 1\)

এখন, \((P+Q)^2\) এর সূত্রে মান বসিয়ে পাই,

\((P+Q)^2 = 1 + 2 \times \frac{1}{2}\)

\((P+Q)^2 = 1 + 1\)

\((P+Q)^2 = 2\)

উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\(P+Q = \pm\sqrt{2}\)

অতএব, \(P+Q\) এর মান হলো \(\pm\sqrt{2}\)

দেওয়া আছে,

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \]

আমরা জানি,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 7 + 2 \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9 \]

\[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{9} \]

\[ x + \frac{1}{x} = 3 \]

এখন, আমাদের নির্ণয় করতে হবে \(\frac{x^6+1}{x^3}\) এর মান।

\[ \frac{x^6+1}{x^3} = \frac{x^6}{x^3} + \frac{1}{x^3} \]

\[ = x^3 + \frac{1}{x^3} \]

আমরা জানি, \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\)

সুতরাং,

\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\[ = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\(x + \frac{1}{x} = 3\) এর মান বসিয়ে পাই,

\[ = (3)^3 - 3(3) \]

\[ = 27 - 9 \]

\[ = 18 \]

সুতরাং, \(\frac{x^6+1}{x^3}\) এর মান 18।