Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

205

বিস্তার কী? বিস্তারের পরম ও আপেক্ষিক পরিমাপের মধ্যে পার্থক্য লিখুন।

উত্তরঃ

কোনো নিবেশনের তথ্যমানগুলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ থেকে কতটা ছড়িয়ে আছে বা বিচ্ছিন্ন, তার পরিমাপকে বিস্তার বলে।

পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, বিস্তার (Dispersion) হলো কোনো তথ্যসারির মানগুলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা থেকে কতটা বিচ্যুত বা ছড়িয়ে আছে, তার একটি পরিমাপ। এটি তথ্যসারির অভ্যন্তরীণ ভিন্নতা বা সমজাতীয়তা নির্দেশ করে। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (যেমন: গড়, মধ্যমা, প্রচুরক) শুধু তথ্যসারির একটি সাধারণ মান প্রকাশ করে, কিন্তু ডেটা পয়েন্টগুলো সেই গড় থেকে কতটা দূরে অবস্থান করছে তা বোঝাতে পারে না। বিস্তার পরিমাপের মাধ্যমে তথ্যসারির সামঞ্জস্য বা অসামঞ্জস্য সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।

বিস্তারকে প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করা হয়: পরম পরিমাপ (Absolute Measure) এবং আপেক্ষিক পরিমাপ (Relative Measure)। এদের মধ্যে প্রধান পার্থক্যগুলো নিচে ছকের মাধ্যমে তুলে ধরা হলো:

পার্থক্যের বিষয়	পরম পরিমাপ (Absolute Measure)	আপেক্ষিক পরিমাপ (Relative Measure)
সংজ্ঞা	তথ্যসারির বিস্তারকে মূল এককে সরাসরি প্রকাশ করে।	তথ্যসারির বিস্তারকে কেন্দ্রীয় প্রবণতার সাপেক্ষে অনুপাত বা শতাংশ আকারে প্রকাশ করে।
একক	মূল তথ্যের এককের সমান হয় (যেমন: টাকা, কেজি, বছর)।	এককবিহীন বা বিশুদ্ধ সংখ্যা।
তুলনা	একই একক এবং প্রায় সমান গড়বিশিষ্ট দুটি তথ্যসারির বিস্তার তুলনা করতে ব্যবহৃত হয়। ভিন্ন একক বা ভিন্ন গড়বিশিষ্ট তথ্যসারির বিস্তার তুলনা করা যায় না।	ভিন্ন একক বা ভিন্ন গড়বিশিষ্ট দুটি বা ততোধিক তথ্যসারির বিস্তার বা পরিবর্তনশীলতা তুলনা করতে ব্যবহৃত হয়।
উদাহরণ	পরিসর (Range), গড় ব্যবধান (Mean Deviation), চতুর্থক ব্যবধান (Quartile Deviation), পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation)।	পরিসরাঙ্ক (Coefficient of Range), গড় ব্যবধানাঙ্ক (Coefficient of Mean Deviation), চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক (Coefficient of Quartile Deviation), বিভেদাঙ্ক (Coefficient of Variation)।
প্রয়োগ	একটি একক তথ্যসারির বিস্তার পরিমাপে উপযোগী।	দুটি বা ততোধিক তথ্যসারির মধ্যে তুলনামূলক স্থিতিশীলতা বা সামঞ্জস্য নির্ধারণে অত্যন্ত উপযোগী।

Satt AI

1 week ago

(খ)

দুটি অসম ধনাত্বক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রমাণ করুন যে, MD = SD = $\frac{R}{2}$ [প্রতীকগুলো চিরাচরিত]

উত্তরঃ

ধরা যাক, দুটি অসম ধনাত্বক সংখ্যা হলো $x_1$ এবং $x_2$, যেখানে $x_1 \ne x_2$। সুবিধার্থে ধরা যাক, $x_1 > x_2$।

১. গাণিতিক গড় ($\bar{x}$) নির্ণয়:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

২. পরিসর (Range, R) নির্ণয়:

$R = |x_1 - x_2|$

যেহেতু $x_1 > x_2$, তাই $R = x_1 - x_2$।

৩. গড় ব্যবধান (Mean Deviation, MD) নির্ণয়:

$MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$

দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে,

$MD = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}|}{2}$

এখন, $x_1 - \bar{x} = x_1 - \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2x_1 - x_1 - x_2}{2} = \frac{x_1 - x_2}{2}$

এবং $x_2 - \bar{x} = x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2x_2 - x_1 - x_2}{2} = \frac{x_2 - x_1}{2} = - \frac{x_1 - x_2}{2}$

অতএব,

$MD = \frac{\left|\frac{x_1 - x_2}{2}\right| + \left|-\frac{x_1 - x_2}{2}\right|}{2}$

যেহেতু $x_1 > x_2$, $(x_1 - x_2)$ ধনাত্বক।

$MD = \frac{\frac{x_1 - x_2}{2} + \frac{x_1 - x_2}{2}}{2} = \frac{2 \left(\frac{x_1 - x_2}{2}\right)}{2} = \frac{x_1 - x_2}{2}$

যেহেতু $R = x_1 - x_2$,

$MD = \frac{R}{2}$

৪. পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation, SD) নির্ণয়:

$SD = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে,

$SD = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2}{2}}$

আমরা জানি, $(x_1 - \bar{x}) = \frac{x_1 - x_2}{2}$ এবং $(x_2 - \bar{x}) = - \frac{x_1 - x_2}{2}$

অতএব,

$SD = \sqrt{\frac{\left(\frac{x_1 - x_2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{x_1 - x_2}{2}\right)^2}{2}}$

$SD = \sqrt{\frac{\frac{(x_1 - x_2)^2}{4} + \frac{(x_1 - x_2)^2}{4}}{2}}$

$SD = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{(x_1 - x_2)^2}{4}}{2}}$

$SD = \sqrt{\frac{(x_1 - x_2)^2}{4}}$

$SD = \frac{\sqrt{(x_1 - x_2)^2}}{\sqrt{4}}$

$SD = \frac{|x_1 - x_2|}{2}$

যেহেতু $x_1 > x_2$, $|x_1 - x_2| = x_1 - x_2$

$SD = \frac{x_1 - x_2}{2}$

যেহেতু $R = x_1 - x_2$,

$SD = \frac{R}{2}$

উপসংহার:

আমরা পেয়েছি $MD = \frac{R}{2}$ এবং $SD = \frac{R}{2}$।

অতএব, দুটি অসম ধনাত্বক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রমাণিত হলো যে, MD = SD = $\frac{R}{2}$।

Satt AI

1 week ago

(গ)

১ম n স্বাভাবিক সংখ্যার বিভেদাংক নির্ণয় করুন।

অথবা

উত্তরঃ

সমাধান:

প্রথম $n$ স্বাভাবিক সংখ্যার বিভেদাংক (Coefficient of Variation) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে এর গড় (Mean) এবং পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation) নির্ণয় করতে হবে।

১. গড় ($\bar{x}$) নির্ণয়:

প্রথম $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো $1, 2, 3, ..., n$।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি, $\sum x = \frac{n(n+1)}{2}$।

মোট পদ সংখ্যা $ = n$।

অতএব, গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$।

২. পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) নির্ণয়:

প্রথমে ভেদাংক ($\sigma^2$) নির্ণয় করতে হবে।

ভেদাংকের সূত্র: $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2$।

প্রথম $n$ স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, $\sum x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।

এখন, ভেদাংকের সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

$\sigma^2 = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$

$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$

$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{2n+1}{6} - \frac{n+1}{4} \right]$

$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{2(2n+1) - 3(n+1)}{12} \right]$

$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2 - 3n-3}{12} \right]$

$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{n-1}{12} \right]$

$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

অতএব, পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$।

৩. বিভেদাংক (Coefficient of Variation - CV) নির্ণয়:

বিভেদাংকের সূত্র: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$।

এখন, $\sigma$ এবং $\bar{x}$ এর মান বসিয়ে পাই:

$CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100$

$CV = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$

$CV = \frac{\sqrt{(n-1)(n+1)}}{\sqrt{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$

যেহেতু, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ এবং $\frac{n+1}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}$।

$CV = \frac{\sqrt{n-1} \sqrt{n+1}}{2\sqrt{3}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$

$CV = \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{3}\sqrt{n+1}} \times 100$

$CV = \sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100$

অতএব, প্রথম $n$ স্বাভাবিক সংখ্যার বিভেদাংক হলো $\sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100$।

Satt AI

1 week ago

(ক)

শোধিত পরিঘাতের সংজ্ঞা দিন। K তম শোধিত ও অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করুন।

উত্তরঃ

শোধিত পরিঘাতের সংজ্ঞা:

কোনো নিবেশনের চলকের মানসমূহ তাদের গাণিতিক গড় থেকে বিচ্যুতিগুলির ঘাতীয় গড়ের সমষ্টিকে শোধিত পরিঘাত বা কেন্দ্রীয় পরিঘাত (Central Moment) বলে। অর্থাৎ, যদি $X$ একটি চলক হয় এবং এর গাণিতিক গড় $\bar{X}$ হয়, তবে k-তম শোধিত পরিঘাতকে $\mu_k$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এটি নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \mu_k = E[(X - \bar{X})^k] \]

যেখানে, $E$ হলো প্রত্যাশা অপারেটর। যদি উপাত্তগুলো একটি সসীম সেট হয়, তবে:

\[ \mu_k = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^k}{n} \]

K তম শোধিত ও অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা:

ধরি, $X$ একটি দৈব চলক। এর গাণিতিক গড় হলো $\bar{X}$ (বা $\mu$)।

কোনো একটি কাল্পনিক মূলবিন্দু $A$ থেকে k-তম অশোধিত পরিঘাতকে $\mu'_k$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা নিম্নরূপ:

\[ \mu'_k = E[(X - A)^k] \]

আমরা জানি যে প্রথম অশোধিত পরিঘাত $\mu'_1$ (যখন মূলবিন্দু $A$ হয়) হলো:

\[ \mu'_1 = E[(X - A)] = E[X] - A = \bar{X} - A \]

সুতরাং, $\bar{X} = A + \mu'_1$।

এখন, k-তম শোধিত পরিঘাতের সংজ্ঞানুসারে:

\[ \mu_k = E[(X - \bar{X})^k] \]

$\bar{X}$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[ \mu_k = E[(X - (A + \mu'_1))^k] \] \[ \mu_k = E[((X - A) - \mu'_1)^k] \]

দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) অনুসারে, $(a - b)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^{k-j} (-b)^j$ সূত্রটি ব্যবহার করে:

ধরি, $a = (X - A)$ এবং $b = \mu'_1$।

\[ \mu_k = E \left[ \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (X - A)^{k-j} (-\mu'_1)^j \right] \]

প্রত্যাশা অপারেটর $E$ রৈখিক হওয়ায়:

\[ \mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-\mu'_1)^j E[(X - A)^{k-j}] \]

এখানে, $E[(X - A)^{k-j}]$ হলো $k-j$ তম অশোধিত পরিঘাত ($\mu'_{k-j}$)।

সুতরাং, K তম শোধিত ও অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্কটি হলো:

\[ \mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-\mu'_1)^j \mu'_{k-j} \]

এই সূত্রটি k-তম শোধিত পরিঘাতকে অশোধিত পরিঘাতের মাধ্যমে প্রকাশ করে। কয়েকটি নির্দিষ্ট ঘাতের জন্য সম্পর্কটি নিম্নরূপ:

দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত ($\mu_2$):

        \[ \mu_2 = \binom{2}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_2 + \binom{2}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_1 + \binom{2}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_0 \]         \[ \mu_2 = 1 \cdot 1 \cdot \mu'_2 + 2 \cdot (-\mu'_1) \cdot \mu'_1 + 1 \cdot (\mu'_1)^2 \cdot 1 \]         \[ \mu_2 = \mu'_2 - 2(\mu'_1)^2 + (\mu'_1)^2 \]         \[ \mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 \]
তৃতীয় শোধিত পরিঘাত ($\mu_3$):

        \[ \mu_3 = \binom{3}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_3 + \binom{3}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_2 + \binom{3}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_1 + \binom{3}{3} (-\mu'_1)^3 \mu'_0 \]         \[ \mu_3 = 1 \cdot 1 \cdot \mu'_3 + 3 \cdot (-\mu'_1) \cdot \mu'_2 + 3 \cdot (\mu'_1)^2 \cdot \mu'_1 + 1 \cdot (-\mu'_1)^3 \cdot 1 \]         \[ \mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_1\mu'_2 + 3(\mu'_1)^3 - (\mu'_1)^3 \]         \[ \mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_1\mu'_2 + 2(\mu'_1)^3 \]
চতুর্থ শোধিত পরিঘাত ($\mu_4$):

        \[ \mu_4 = \binom{4}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_4 + \binom{4}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_3 + \binom{4}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_2 + \binom{4}{3} (-\mu'_1)^3 \mu'_1 + \binom{4}{4} (-\mu'_1)^4 \mu'_0 \]         \[ \mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_1\mu'_3 + 6(\mu'_1)^2\mu'_2 - 4(\mu'_1)^4 + (\mu'_1)^4 \]         \[ \mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_1\mu'_3 + 6(\mu'_1)^2\mu'_2 - 3(\mu'_1)^4 \]

Satt AI

1 week ago

(খ)

সূঁচলতার সংজ্ঞা দিন। বিভিন্ন প্রকার সূঁচলতার সচিত্র বর্ণনা দিন।

উত্তরঃ সূঁচলতা হলো একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাসের (probability distribution) চূড়ার (peak) তীক্ষ্ণতা এবং এর প্রান্তিক লেজের (tails) পুরুত্বের একটি পরিমাপ। এটি একটি বিন্যাসের আকৃতি (shape) সম্পর্কে ধারণা দেয়, বিশেষত বিন্যাসটি স্বাভাবিক বিন্যাসের (normal distribution) তুলনায় কতটা চ্যাপ্টা বা সূঁচালো।

পরিসংখ্যানে, সূঁচলতা (Kurtosis) একটি ডেটা সেট বা সম্ভাব্যতা বিন্যাসের ডেটা মানগুলি তার গড়ের আশেপাশে কতটা কেন্দ্রীভূত বা বিক্ষিপ্ত তা নির্দেশ করে। এটি বিন্যাসের চূড়ার উচ্চতা (peakedness) এবং লেজের পুরুত্ব (tail weight) পরিমাপ করে। মূলত, সূঁচলতা দেখায় যে একটি বিন্যাসে চরম মান (extreme values) থাকার প্রবণতা কতটা বেশি বা কম।

বিভিন্ন প্রকার সূঁচলতা নিম্নরূপ:

মেসোকুর্টিক (Mesokurtic):
একটি বিন্যাসকে মেসোকুর্টিক বলা হয় যখন এর সূঁচলতা একটি স্বাভাবিক বিন্যাসের (Normal Distribution) মতো হয়। অর্থাৎ, এর চূড়ার তীক্ষ্ণতা এবং লেজের পুরুত্ব একটি আদর্শ ঘণ্টা-আকৃতির (bell-shaped) বক্ররেখার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। এর এক্সসেস সূঁচলতা (Excess Kurtosis) প্রায় শূন্য ($\gamma_2 \approx 0$) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ ($\beta_2$) প্রায় 3 হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এটি একটি আদর্শ ঘণ্টা-আকৃতির লেখচিত্রের মতো দেখায় যার চূড়া এবং লেজ স্বাভাবিক।
লেপ্টোকুর্টিক (Leptokurtic):
লেপ্টোকুর্টিক বিন্যাসের চূড়া মেসোকুর্টিক বিন্যাসের চেয়ে বেশি সূঁচালো (sharper peak) এবং এর লেজগুলো পুরু বা ভারী (fatter/heavier tails) হয়। এর অর্থ হলো, ডেটাগুলো গড়ের আশেপাশে বেশি কেন্দ্রীভূত এবং বিন্যাসে চরম মান (extreme values) বা আউটলায়ার (outliers) থাকার প্রবণতা বেশি। এর এক্সসেস সূঁচলতা শূন্যের চেয়ে বেশি ($\gamma_2 > 0$) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ 3 এর চেয়ে বেশি ($\beta_2 > 3$) হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এর লেখচিত্রের মাঝখানে একটি উচ্চ, সরু চূড়া থাকে এবং উভয় পাশে লেজগুলো স্বাভাবিক বিন্যাসের চেয়ে ধীরে ধীরে নিচে নামে, যা মোটা দেখায়।
প্লাটিকুর্টিক (Platykurtic):
প্লাটিকুর্টিক বিন্যাসের চূড়া মেসোকুর্টিক বিন্যাসের চেয়ে চ্যাপ্টা (flatter peak) হয় এবং এর লেজগুলো পাতলা (thinner tails) হয়। এর অর্থ হলো, ডেটাগুলো গড়ের আশেপাশে কম কেন্দ্রীভূত এবং আরও বিস্তৃতভাবে ছড়িয়ে থাকে। এই ধরনের বিন্যাসে চরম মান (extreme values) বা আউটলায়ার (outliers) থাকার প্রবণতা কম। এর এক্সসেস সূঁচলতা শূন্যের চেয়ে কম ($\gamma_2 < 0$) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ 3 এর চেয়ে কম ($\beta_2 < 3$) হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এর লেখচিত্রের মাঝখানে একটি নিম্ন, প্রশস্ত চূড়া থাকে এবং উভয় পাশে লেজগুলো স্বাভাবিক বিন্যাসের চেয়ে দ্রুত নিচে নেমে যায়, যা পাতলা দেখায়।

এই পরিমাপগুলো ডেটা সেটের বিন্যাস বা আকৃতি সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সরবরাহ করে, যা ঝুঁকি বিশ্লেষণ, মান নিয়ন্ত্রণ এবং অর্থনৈতিক মডেলিংয়ের মতো ক্ষেত্রে অত্যন্ত সহায়ক।

Satt AI

1 week ago

(গ)

$β_{1}$ এবং $β_{2}$ এর উপর মূল ও মাপনীর প্রভাব পরীক্ষা করুন।

Add Explanation

205

CQ: 96

Related Question

View All

(ক)

পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দিন। পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্য সংক্ষেপে আলোচনা করুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

674

উত্তরঃ পরিসংখ্যান হলো সংখ্যাসূচক উপাত্ত সংগ্রহ, সংগঠন, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ এবং ব্যাখ্যা করার বিজ্ঞান, যা কোনো নির্দিষ্ট বিষয় বা সমস্যা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়তা করে।

পরিসংখ্যানের মূল বৈশিষ্ট্যগুলো সংক্ষেপে নিচে আলোচনা করা হলো:

সংখ্যাগত প্রকাশ (Numerically Expressed): পরিসংখ্যান সর্বদা সংখ্যায় প্রকাশযোগ্য তথ্য নিয়ে কাজ করে। গুণগত বৈশিষ্ট্য (যেমন – সততা, সৌন্দর্য) সরাসরি পরিসংখ্যানে অন্তর্ভুক্ত হয় না, যদি না সেগুলোকে সংখ্যায় পরিমাপ করা যায়।
তথ্য সমষ্টি (Aggregate of Facts): একটি মাত্র সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না; বরং একাধিক বা একজাতীয় তথ্যের সমষ্টিকে পরিসংখ্যান বলে। যেমন, একজন ব্যক্তির আয় পরিসংখ্যানে পড়ে না, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের মানুষের গড় আয় পরিসংখ্যানের অন্তর্ভুক্ত।
পূর্বনির্ধারিত উদ্দেশ্য (Pre-determined Purpose): পরিসংখ্যানিক তথ্য সংগ্রহের আগে একটি সুস্পষ্ট উদ্দেশ্য থাকতে হয়। উদ্দেশ্যবিহীন বা এলোমেলোভাবে সংগৃহীত তথ্য পরিসংখ্যানে বিবেচিত হয় না।
বহুবিধ কারণ দ্বারা প্রভাবিত (Affected by Multiple Causes): পরিসংখ্যানিক তথ্য সাধারণত একটিমাত্র কারণ দ্বারা প্রভাবিত হয় না। একাধিক কারণের সম্মিলিত প্রভাবে এর মান পরিবর্তিত হয়। যেমন, পণ্যের দাম কেবল চাহিদা নয়, সরবরাহ, উৎপাদন খরচ, সরকারি নীতি ইত্যাদি দ্বারাও প্রভাবিত হয়।
তুলনাযোগ্যতা (Comparability): পরিসংখ্যানিক তথ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো এগুলো তুলনাযোগ্য হওয়া। বিভিন্ন সময় বা স্থানের সংগৃহীত তথ্য তুলনা করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা হয়।
যথাযথ নির্ভুলতা (Reasonable Accuracy): পরিসংখ্যানের তথ্যে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতা থাকা প্রয়োজন। নির্ভুলতার মাত্রা তথ্যের প্রকৃতি এবং ব্যবহারের উদ্দেশ্য অনুযায়ী নির্ধারিত হয়।
সুসংবদ্ধ সংগ্রহ (Systematic Collection): তথ্য সংগ্রহের প্রক্রিয়া সুসংবদ্ধ ও বিজ্ঞানসম্মত হওয়া উচিত, যাতে সংগৃহীত তথ্য নির্ভরযোগ্য ও বিশ্লেষণযোগ্য হয়।

Satt AI

1 week ago

674

(খ)

তথ্য কী? প্রাথমিক ও মাধ্যমিক তথ্যের পার্থক্য লিখুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

1.4k

উত্তরঃ

তথ্য হলো কোনো নির্দিষ্ট উদ্দেশ্য সাধনের জন্য সংগৃহীত সংখ্যা, অক্ষর, প্রতীক বা অন্যান্য উপাদানের সমষ্টি যা প্রক্রিয়াকরণের মাধ্যমে অর্থপূর্ণ জ্ঞান বা সিদ্ধান্তে উপনীত হতে সাহায্য করে। পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, তথ্য হলো কাঁচামাল যার ওপর ভিত্তি করে বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা করা হয়।

পরিসংখ্যানের প্রেক্ষাপটে, তথ্য বলতে আমরা যেকোনো পর্যবেক্ষণ, পরিমাপ, বা ঘটনার রেকর্ডকে বুঝি যা বিশ্লেষণ করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা যায়। এটি সংখ্যাসূচক বা গুণগত হতে পারে এবং গবেষণা, বিশ্লেষণ বা সিদ্ধান্ত গ্রহণের ভিত্তি হিসেবে কাজ করে। তথ্যের গুণগত মান বিশ্লেষণ ও ফলাফলের নির্ভুলতার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

প্রাথমিক ও মাধ্যমিক তথ্যের মধ্যে প্রধান পার্থক্যগুলো নিচে একটি ছকের মাধ্যমে তুলে ধরা হলো:

পার্থক্যের ভিত্তি	প্রাথমিক তথ্য (Primary Data)	মাধ্যমিক তথ্য (Secondary Data)
সংজ্ঞা	গবেষক বা সংগ্রাহক কর্তৃক প্রথমবারের মতো সরাসরি সংগৃহীত তথ্য। এটি নতুন ও আসল তথ্য।	অন্য কোনো ব্যক্তি বা প্রতিষ্ঠান কর্তৃক পূর্বে সংগৃহীত ও প্রকাশিত তথ্য যা অন্য কাজে ব্যবহার করা হয়।
উৎপত্তি	উৎস থেকে সরাসরি সংগৃহীত।	অন্য উৎস থেকে প্রাপ্ত (যেমন: বই, জার্নাল, সরকারি প্রতিবেদন)।
উপলব্ধতা	সাধারণত সহজলভ্য নয়, কারণ এটি নতুন করে সংগ্রহ করতে হয়।	সহজলভ্য, কারণ এটি ইতিমধ্যেই প্রকাশিত বা সংগৃহীত।
সময়	সংগ্রহে বেশি সময় লাগে।	সংগ্রহে কম সময় লাগে।
খরচ	সংগ্রহ ব্যয়বহুল।	সংগ্রহ তুলনামূলকভাবে কম ব্যয়বহুল।
সংশোধন ও বিশ্বাসযোগ্যতা	সরাসরি নিয়ন্ত্রিত ও যাচাইযোগ্য, তাই নির্ভরযোগ্যতা বেশি।	সংশোধন বা যাচাই করা কঠিন, বিশ্বাসযোগ্যতা কম হতে পারে।
উপযোগীতা	নির্দিষ্ট গবেষণার উদ্দেশ্যের সাথে সরাসরি সঙ্গতিপূর্ণ।	অন্য গবেষণার জন্য সংগৃহীত হওয়ায় বর্তমান গবেষণার উদ্দেশ্যের সাথে সম্পূর্ণ সঙ্গতিপূর্ণ নাও হতে পারে।
উদাহরণ	জরিপ, সাক্ষাৎকার, পরীক্ষা, কেস স্টাডি থেকে প্রাপ্ত তথ্য।	বই, জার্নাল, সংবাদপত্র, সরকারি পরিসংখ্যান, ওয়েবসাইটের তথ্য।

Satt AI

1 week ago

1.4k

(গ)

গবেষণায় গণসংখ্যা নিবেশনের গুরুত্ব বর্ণনা করুন।

অথবা

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

727

উত্তরঃ গবেষণায় গণসংখ্যা নিবেশন (Frequency Distribution) হলো উপাত্তকে (data) সুসংগঠিত এবং সংক্ষিপ্ত আকারে উপস্থাপনের একটি শক্তিশালী পদ্ধতি, যা উপাত্তের বৈশিষ্ট্য ও বিন্যাস সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা প্রদান করে। এর গুরুত্ব নিচে বর্ণনা করা হলো:

গণসংখ্যা নিবেশন গবেষণায় উপাত্ত বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এর প্রধান গুরুত্বসমূহ নিম্নরূপ:

উপাত্ত সংক্ষিপ্তকরণ ও সহজবোধ্যতা (Data Summarization and Comprehensibility): বিশাল ও অসংগঠিত উপাত্তকে (raw data) গণসংখ্যা নিবেশনের মাধ্যমে সংক্ষিপ্ত ও সুশৃঙ্খলভাবে উপস্থাপন করা যায়। এটি গবেষকদেরকে উপাত্তের সামগ্রিক চিত্র দ্রুত বুঝতে সাহায্য করে।
উপাত্তের বিন্যাস নির্ণয় (Identifying Data Patterns): গণসংখ্যা নিবেশন উপাত্তের বিন্যাস বা প্যাটার্ন (pattern) সনাক্ত করতে সহায়তা করে। যেমন, উপাত্তগুলো কীভাবে বণ্টিত হয়েছে (সুষম, অসম, একপদী, বহুপদী ইত্যাদি), সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন পর্যবেক্ষণগুলি কোথায় কেন্দ্রীভূত, তা সহজেই বোঝা যায়।
তুলনামূলক বিশ্লেষণ (Comparative Analysis): একাধিক উপাত্ত সেট বা নমুনার (samples) মধ্যে তুলনা করার জন্য গণসংখ্যা নিবেশন কার্যকর। এর মাধ্যমে বিভিন্ন দলের মধ্যে কোন নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের তারতম্য বা সাদৃশ্য নির্ণয় করা সহজ হয়।
অস্বাভাবিক মান সনাক্তকরণ (Outlier Detection): গণসংখ্যা নিবেশন অস্বাভাবিক বা বিচ্ছিন্ন মান (outliers) সনাক্ত করতে সাহায্য করে, যা উপাত্ত সংগ্রহে ভুল বা অস্বাভাবিক ঘটনা নির্দেশ করতে পারে। এই মানগুলো চিহ্নিত করে বিশ্লেষণের নির্ভরযোগ্যতা বৃদ্ধি করা যায়।
কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও বিস্তার পরিমাপের ভিত্তি (Basis for Measures of Central Tendency and Dispersion): গড় (mean), মধ্যক (median), প্রচুরক (mode) এর মতো কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ এবং পরিসর (range), পরিমিত ব্যবধান (standard deviation) এর মতো বিস্তার পরিমাপের জন্য গণসংখ্যা নিবেশন অপরিহার্য ভিত্তি তৈরি করে।
ভবিষ্যৎ পরিসংখ্যানিক বিশ্লেষণের ভিত্তি (Foundation for Further Statistical Analysis): গণসংখ্যা নিবেশন হিস্টোগ্রাম (histogram), ফ্রিকোয়েন্সি পলিগন (frequency polygon) এর মতো চিত্রগত উপস্থাপনার ভিত্তি হিসেবে কাজ করে, যা উপাত্তের প্রকৃতি সম্পর্কে আরও গভীর অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে। এটি পরবর্তীতে অনুমিত পরিসংখ্যান (inferential statistics) প্রয়োগের জন্য গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

সুতরাং, গবেষণায় নির্ভুল সিদ্ধান্ত গ্রহণ, কার্যকর বিশ্লেষণ এবং নির্ভরযোগ্য ফলাফল উপস্থাপনের জন্য গণসংখ্যা নিবেশন একটি মৌলিক ও অপরিহার্য হাতিয়ার।

Satt AI

1 week ago

727

(ক)

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপের সংজ্ঞা দিন। যে কোনো তিনটি পরিমাপ দোষ- গুণসহ বর্ণনা করুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

538

উত্তরঃ

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (Measures of Central Tendency) হলো পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি যা কোনো তথ্যসারির কেন্দ্র বা গড় মান নির্দেশ করে। এটি একটি একক মান যা সমগ্র তথ্যসারির প্রতিনিধিত্ব করে এবং তথ্যসারির বিতরণের প্রবণতা সম্পর্কে ধারণা দেয়। এর মাধ্যমে বোঝা যায় তথ্যগুলো কোন মানের আশেপাশে কেন্দ্রীভূত হয়েছে।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার তিনটি প্রধান পরিমাপ নিচে দোষ-গুণসহ বর্ণনা করা হলো:

১. গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean)

গাণিতিক গড় হলো কোনো তথ্যসারির সকল মানকে যোগ করে মোট মানের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে প্রাপ্ত ফলাফল। এটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার সবচেয়ে সাধারণ এবং বহুল ব্যবহৃত পরিমাপ।

সুবিধা (Merits):
- বুঝতে ও গণনা করতে সহজ।
- সকল মানের উপর ভিত্তি করে এটি নির্ধারিত হয়, তাই তথ্যের সব বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত থাকে।
- নমুনা মানের পরিবর্তন দ্বারা কম প্রভাবিত হয়।
- উচ্চতর পরিসংখ্যানিক বিশ্লেষণের জন্য উপযোগী।
অসুবিধা (Demerits):
- চরম মান (Outliers) দ্বারা ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হয়।
- গুণগত তথ্যের (Qualitative Data) ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যায় না।
- মুক্ত প্রান্তের শ্রেণি (Open-ended classes) থাকলে গড় নির্ণয় করা কঠিন বা অসম্ভব।
- কিছু ক্ষেত্রে তথ্যসারির বাস্তব মান নাও হতে পারে (যেমন: একটি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা ৩.৭ জন)।

২. মধ্যমা (Median)

মধ্যমা হলো কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রম বা অধোক্রম অনুসারে সাজালে ঠিক মাঝখানে অবস্থিত মানটি। যদি জোড় সংখ্যক মান থাকে, তবে মাঝের দুটি মানের গড়কে মধ্যমা ধরা হয়।

সুবিধা (Merits):
- চরম মান (Outliers) দ্বারা প্রভাবিত হয় না।
- গণনা করা সহজ এবং বুঝতে সরল।
- মুক্ত প্রান্তের শ্রেণি (Open-ended classes) থাকলেও মধ্যমা নির্ণয় করা যায়।
- গুণগত তথ্য বা ক্রমিক তথ্যের (Ordinal Data) ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যায়।
অসুবিধা (Demerits):
- তথ্যসারির সকল মানের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত হয় না।
- নমুনা মানের পরিবর্তন দ্বারা গড়ের চেয়ে বেশি প্রভাবিত হতে পারে।
- কিছু ক্ষেত্রে উচ্চতর পরিসংখ্যানিক বিশ্লেষণের জন্য উপযুক্ত নয়।
- প্রথমত, তথ্যগুলোকে অবশ্যই সাজিয়ে নিতে হয়, যা সময়সাপেক্ষ হতে পারে।

৩. প্রচুরক (Mode)

প্রচুরক হলো কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি সবচেয়ে বেশিবার পুনরাবৃত্ত হয়। একটি তথ্যসারিতে এক বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে, এমনকি কোনো প্রচুরক নাও থাকতে পারে।

সুবিধা (Merits):
- বুঝতে এবং শনাক্ত করতে অত্যন্ত সহজ।
- চরম মান (Outliers) দ্বারা প্রভাবিত হয় না।
- গুণগত তথ্য বা নামমাত্র তথ্যের (Nominal Data) ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যায়।
- মুক্ত প্রান্তের শ্রেণি (Open-ended classes) থাকলেও প্রচুরক নির্ণয় করা যায়।
- ব্যবসায়িক সিদ্ধান্ত গ্রহণ বা ফ্যাশন ট্রেন্ডের মতো ক্ষেত্রে এটি অত্যন্ত উপযোগী।
অসুবিধা (Demerits):
- তথ্যসারির সকল মানের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত হয় না।
- কখনও কখনও একটি তথ্যসারিতে কোনো প্রচুরক নাও থাকতে পারে বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে, যা বিশ্লেষণকে জটিল করে তোলে।
- সুনির্দিষ্ট গাণিতিক সংজ্ঞা নেই, তাই উচ্চতর পরিসংখ্যানিক বিশ্লেষণের জন্য খুব কম উপযোগী।
- নমুনা মানের পরিবর্তন দ্বারা ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হতে পারে।

Satt AI

1 week ago

538

(খ)

প্রমাণ করুন যে, $G = \sqrt{G_{1}} G_{2}$ যেখানে $n_{1} = n_{2} = n$ [প্রতীকগুলো চিরাচরিত]

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

613

উত্তরঃ

ধরি, প্রথম শ্রেণির $n$ সংখ্যক পর্যবেক্ষণসমূহ হলো $x_1, x_2, \dots, x_n$।

এবং দ্বিতীয় শ্রেণির $n$ সংখ্যক পর্যবেক্ষণসমূহ হলো $y_1, y_2, \dots, y_n$।

প্রথম শ্রেণির জ্যামিতিক গড় $G_1$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$G_1 = (\prod_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}}$

উভয় পাশে $n$ ঘাত (power) নিয়ে পাই:

$G_1^n = \prod_{i=1}^n x_i$ (সমীকরণ ১)

দ্বিতীয় শ্রেণির জ্যামিতিক গড় $G_2$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$G_2 = (\prod_{j=1}^n y_j)^{\frac{1}{n}}$

উভয় পাশে $n$ ঘাত নিয়ে পাই:

$G_2^n = \prod_{j=1}^n y_j$ (সমীকরণ ২)

প্রথম ও দ্বিতীয় শ্রেণির মোট $n+n=2n$ সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সম্মিলিত জ্যামিতিক গড় $G$ এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$G = (\prod_{i=1}^n x_i \cdot \prod_{j=1}^n y_j)^{\frac{1}{2n}}$

সমীকরণ ১ ও সমীকরণ ২ থেকে মান বসিয়ে পাই:

$G = (G_1^n \cdot G_2^n)^{\frac{1}{2n}}$

$G = ((G_1 G_2)^n)^{\frac{1}{2n}}$

$G = (G_1 G_2)^{\frac{n}{2n}}$

$G = (G_1 G_2)^{\frac{1}{2}}$

$G = \sqrt{G_1 G_2}$

এটি সম্মিলিত জ্যামিতিক গড়ের প্রচলিত সূত্র যখন উভয় শ্রেণির পর্যবেক্ষণের সংখ্যা সমান ($n_1 = n_2 = n$) হয়।

এখন, প্রশ্নোক্ত সম্পর্কটি ( $G = \sqrt{G_{1}} G_{2}$ ) সত্য হবে যদি আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল এই সম্পর্কের সমান হয়:

$\sqrt{G_1 G_2} = \sqrt{G_1} G_2$

উভয় পাশে বর্গ করে পাই:

$(\sqrt{G_1 G_2})^2 = (\sqrt{G_1} G_2)^2$

$G_1 G_2 = G_1 G_2^2$

উভয় পক্ষকে $G_1 G_2$ দ্বারা ভাগ করে (যদি $G_1 \neq 0$ এবং $G_2 \neq 0$ হয়):

$\frac{G_1 G_2}{G_1 G_2} = \frac{G_1 G_2^2}{G_1 G_2}$

$1 = G_2$

সুতরাং, প্রচলিত প্রতীক এবং সংজ্ঞা অনুযায়ী, প্রশ্নোক্ত সম্পর্ক $G = \sqrt{G_{1}} G_{2}$ কেবল তখনই সত্য হবে যখন দ্বিতীয় শ্রেণির জ্যামিতিক গড় $G_2 = 1$ হবে। অন্যথায়, সাধারণ ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য নয়।

Satt AI

3 weeks ago

613

(গ)

১,২,৪……..2ⁿ ধারাটির AM, GM এবং HM নির্ণয় করুন।

NTRCA 17th NTRCA College - 2023 পরিসংখ্যান 2023

617

উত্তরঃ

দেওয়া আছে ধারাটি হলো: $১,২,৪,\dots,২^n$

এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।

প্রথম পদ $a = ১$

সাধারণ অনুপাত $r = ২/১ = ৪/২ = ২$

শেষ পদ $L = ২^n$

যদি ধারার পদসংখ্যা $N$ হয়, তবে $T_N = a \cdot r^{N-1}$।

এখানে, $২^n = ১ \cdot ২^{N-1}$

$২^n = ২^{N-1}$

$n = N-1$

$N = n+1$

সুতরাং, ধারাটির পদসংখ্যা $n+1$।

১. গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean - AM) নির্ণয়:

গাণিতিক গড়ের সূত্র হলো $AM = \frac{\text{পদসমূহের সমষ্টি}}{\text{পদসংখ্যা}}$

পদসমূহের সমষ্টি $S_N = \frac{a(r^N - 1)}{r-1}$

এখানে, $a=1$, $r=2$, $N=n+1$

$S_{n+1} = \frac{1(2^{n+1} - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 1$

সুতরাং, $AM = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$

২. গুণোত্তর গড় (Geometric Mean - GM) নির্ণয়:

গুণোত্তর গড়ের সূত্র হলো $GM = (x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_N)^{1/N}$

এখানে, পদগুলো হলো $2^0, 2^1, 2^2, \dots, 2^n$

পদসমূহের গুণফল $P = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot \dots \cdot 2^n$

$P = 2^{(0+1+2+\dots+n)}$

ঘাতের সমষ্টি $0+1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ (প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র)

সুতরাং, $P = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$

এবং $N = n+1$

$GM = \left(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)^{\frac{1}{n+1}}$

$GM = 2^{\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{n+1}}$

$GM = 2^{n/2}$

৩. তরঙ্গ গড় (Harmonic Mean - HM) নির্ণয়:

তরঙ্গ গড়ের সূত্র হলো $HM = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_i}}$

এখানে, $N = n+1$

$\sum \frac{1}{x_i} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}$

এটিও একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ $a' = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r' = 1/2$। পদসংখ্যা $N = n+1$।

এই ধারার সমষ্টি $S'_N = \frac{a'(1 - (r')^N)}{1 - r'}$

$S'_{n+1} = \frac{1(1 - (1/2)^{n+1})}{1 - 1/2}$

$S'_{n+1} = \frac{1 - 1/2^{n+1}}{1/2}$

$S'_{n+1} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)$

$S'_{n+1} = 2 - \frac{2}{2^{n+1}}$

$S'_{n+1} = 2 - \frac{1}{2^n}$

$S'_{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{2^n}$

সুতরাং, $HM = \frac{n+1}{\frac{2^{n+1}-1}{2^n}}$

$HM = \frac{(n+1)2^n}{2^{n+1}-1}$

Satt AI

1 week ago

617

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

Related Question

Related Question

Promotion