Solve the following Mathematical Problems

$$\begin{gathered} Given m = 7-4\sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{1}{m}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}=\frac{7+4\sqrt{3}}{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}=\frac{7+4\sqrt{3}}{{\left(7\right)}^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{7+4\sqrt{3}}{49-48}=7+4\sqrt{3} \\ m+\frac{1}{m}=7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}=14 \\ \therefore m+\frac{1}{m}=14 \\ Now, \sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}} \\ \Rightarrow {\left(\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}\right)}^2={\left(\sqrt{m}\right)}^2+2\times \sqrt{m}\times \frac{1}{\sqrt{m}}+{\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)}^2=m+2+\frac{1}{m}=m+\frac{1}{m}+2=14+2=16 \\ \therefore \sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}=\sqrt{16}=4 \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একটি কোম্পানি ঘোষণা করলো যে একটি নির্দিষ্ট হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কেউ যদি একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ জমা রাখে তবে 3 বছরে তা 8 গুণ হবে। এখন, একই পরিমাণ আসল ঐ চক্রবৃদ্ধি সুদে জামা রাখলে কত বছরে তা 16 গুণ হবে? 

Let principal amount of x; And rate of compound interest be r, Time, n= ? 

Applying the law of compound interest, we can write

$$\begin{gathered} x{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^3=8x \\ \Rightarrow {\left(1+\frac{r}{100}\right)}^3=\frac{8x}{x}=8 \\ \Rightarrow {\left(1+\frac{r}{100}\right)}^3=8=2^3 \\ \therefore 1+\frac{r}{100}=2 ...................\left(i\right) \\ Now, according to question, \\ x{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n=16x \\ \Rightarrow {\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n=16 \\ \Rightarrow {\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n=2^4 \\ \Rightarrow 2^n=2^4 \left[From\right(i\left)\right] \\ \therefore n=4 \\ \mathit{a}\mathit{n}\mathit{s} \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একটি ক্রিকেট খেলায় A দল কোনো উইকেট না হারিয়ে 232 রান করলো। বাই রান, ওয়াইড এবং রান নেওয়ার মাধ্যমে দুইজন ওপেনিং ব্যাটসম্যান এই রান করেন। দুইজন ব্যাটসম্যান এর (ব্যাটে) রান নেওয়ার পরিমান ওয়াইডের 26 গুণ। আবার ওয়াইডের চেয়েও 8 টি বাই রান বেশি পেয়েছে। এখন Rick : Stew = 6 : 7 হলে Rick কত রান করেছিল? 

Let, number of wides be x

Number of byes be (x+8)
Two batsmen scored 26x runs
According to question, 26x + x + x + 8 = 232
$$\begin{gathered} \Rightarrow 28x=224 \\ \therefore x=\frac{224}{28}=8 \end{gathered}$$

Two batsmen scored 26 × 8=208 runs.

Rick scored= $\left(208\times \frac{6}{6+7}\right)=\left(208\times \frac{6}{13}\right)=96 runs$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, Picnic এ যাবার জন্য কয়েকজন ছাত্র 3,000 টাকায় একটি বাস ভাড়া করল। তারা প্রত্যেকে সমান ভাড়া দেবার জন্য একমত হলো। কিন্তু 10 জন ছাত্র না আসায় মাথাপিছু ভাড়া 10 টাকা বেড়ে গেল। প্রথমে কতজন ছাত্র Picnic এ যাবার কথা ছিল ? 

Suppose, the number of students were x 

Per head amounts= $\frac{3000}{x}$ TK. 

As 10 students did not turn up then charged amount will be $\frac{3000}{x-10}Tk$

$$\begin{gathered} \therefore Per head amounts= TK. \frac{3000}{x-10} \\ According to the question \\ \frac{3000}{x-10}-\frac{3000}{x}=10 \\ \Rightarrow \frac{3000x-3000x+3000}{\left(x-10\right)x} \\ \Rightarrow \frac{30000}{x^2-10x}=10 \\ \Rightarrow 10x^2-100x=30,000 \\ \Rightarrow 10x^2-100x-30,000=0 \\ \Rightarrow x^2-10x-30,000=0 \\ \Rightarrow x\left(x-60\right)+50x-3000=0 \\ \Rightarrow x\left(x-60\right)+50\left(x-60\right) \\ \Rightarrow \left(x+50\right)\left(x-60\right)=0 \\ \Rightarrow x-60=0 \\ \therefore x=60 \end{gathered}$$

ans: The number of students originally registered 60. 

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 108 কিলোমিটার যাওয়ার পরে একজন সাইকেল আরোহী বুঝতে পারলেন যে তিনি যদি 3 km/hr বেশি বেগে যেতেন, তবে তার 3 ঘণ্টা কম সময় লাগতো। সাইকেল আরোহীর গতিবেগ কত ?

$$\begin{gathered} Let, the speed be x km/hr. \\ Since dis\tan ce is 108 km, time=\frac{108}{x} hrs \\ When speed is increased by 3 km/hr, speed is=(x+3) km/hr \\ \therefore The required time=\frac{108}{x+3}hrs \\ According to the question, \\ \frac{108}{x}-\frac{108}{x+3}=3 \\ \Rightarrow \frac{108\left(x+3\right)-108x}{x\left(x+3\right)}=3 \\ \Rightarrow \frac{108x+324-108x}{x^2+3x} \\ \Rightarrow 324=3x^2-9x \\ \Rightarrow 324-3x^2-9x=0 \\ \Rightarrow -3x^2-9x+324=0 \\ \Rightarrow -3\left(x^2+3x-108\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+3x-108=0 \\ \Rightarrow x^2+12x-9x-108=0 \\ \Rightarrow x\left(x+12\right)-9\left(x+12\right) \\ \Rightarrow \left(x+12\right)\left(x-9\right)=0 \\ So either, x-9=0 \\ or, x+12=0 \\ if, x+12=0 \\ then, x=-12 \\ \therefore The speed 9km [Since velocity x\ne -12] \\ He traveled at a speed of 9 km/hr. \mathbf{\left(}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হয়ে যে, একটি হল ঘরের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার। মেঝের ও সিলিংয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 4 টি দেয়ালের ক্ষেত্রফলের সমান হলে হল ঘরের আয়তন কত? 
 

Here, the length & breadth of the floor & ceiling is equal

Sum of the areas of floor & ceiling is= 2(Length×Breadth)=2(15 × 12)= (2×180)=360 m²

Again, sum of the areas of the four walls=(L×H)+(L×H)+(B×H)+(B×H)
=2(LH+BH)m²  [Her, L=Length, B=Breadth & H=Hall] 

=2H(L+B)m² =2H(15+12)=2H×27=54H m² 

According to question, 54 H = 360 

$\therefore H=\frac{360}{54}=\frac{20}{3}$

$\therefore Volume of the Hall = (L\times B\times H)m^3=\left(15\times 12\times \frac{20}{3}\right)=1200m^3$

(ans) 

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, দুটি মোমবাতি একটি সুষম গতিতে 3 ঘণ্টায় ও অপরটি ও 4 ঘণ্টা পুরোপুরি জ্বলে শেষ হয়। কখন দুটি মোম একত্রে জ্বালালে বিকাল 4 টার সময় একটির দৈর্ঘ্য অপরটির দ্বিগুণ থাকবে? 

$$\begin{gathered} Let l be length of each candle and x be the number of hours before 4pm. \\ \therefore Length of 1^{st} candle burnt \left(\frac{1}{3}\right)x \\ \therefore Length of 2^{nd} candle burnt \left(\frac{1}{4}\right)x \\ \therefore Remaining of 1^{st} candle=\left(l-\frac{lx}{3} \right)at 4 pm \\ \& Remaining of 2^{nd} candle= \left(l-\frac{lx}{4}\right)at 4 pm \\ According to question, \\ l - \frac{lx}{4}= 2\left(l-\frac{lx}{3}\right) \\ \Rightarrow l\left( 1 - \frac{x}{4}\right)=2l\left(1-\frac{x}{3}\right) \\ \Rightarrow 1 - \frac{x}{4}=2\left(1-\frac{x}{3}\right) \\ \Rightarrow 1-\frac{x}{4}=2-\frac{2x}{3} \\ \Rightarrow \frac{2x}{3}-\frac{x}{4}=2-1 \\ \Rightarrow \frac{4x-3x}{12}=1 \\ \Rightarrow \frac{5x}{12}=1 \\ \therefore x=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}hours= 2 hours and 24 minutes \\ \therefore Required times= 4-2 hours 24 minutes= 1 hour 36 minutes=1 : 36 pm \end{gathered}$$

(ans)