Solve the following mathematical problems:

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

    \[x+y=1 \quad \text{(1)}\]     \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\]     \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

    \[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

    \[kx+(1-x)=2\]     \[kx-x=2-1\]     \[x(k-1)=1\]

যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।

    \[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

    \[y=1-x\]     \[y=1-\frac{1}{k-1}\]     \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\]     \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

    \[x+ky=3\]     \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):

    \[1+k(k-2)=3(k-1)\]     \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

    \[k^2-2k-3k+1+3=0\]     \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

    \[k^2-4k-k+4=0\]     \[k(k-4)-1(k-4)=0\]     \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)

    \[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।

প্রতি মাসে কর্তন = সেই বছরের মূল বেতন এর 10%

প্রতি বছরে কর্তন= 12$\times$সেই বছরের মূল বেতন এর 10%
প্রথম বছরে প্রতি মাসে ভবিষ্যৎ তহবিলে জমা হওয়া অর্থ: $22000\times 10\%=2200$ টাকা
দ্বিতীয় বছরে প্রতি মাসে ভবিষ্যৎ তহবিলে জমা হওয়া অর্থ: $23000\times 10\%=2300$ টাকা
এখানে, a = 2200
সাধারণ অন্তর, d = 2300-2200 = 100
$\therefore$২০ বছরে মোট জমা হওয়া অর্থ=    [$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1\left)d\right]$ [আগে মাসের হিসাব ছিল, বছর করাতে ১২ দিয়ে গুণ হয়েছে]
= 76500 

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

মোট জিনিস = ১০টি

একজাতীয় জিনিস (অভিন্ন) = ২টি

ভিন্ন ভিন্ন জিনিস = \(10 - 2 = 8\)টি

প্রতিবার ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।

আমরা একজাতীয় জিনিস থেকে ০, ১ অথবা ২টি বাছাই করতে পারি। এর উপর ভিত্তি করে ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে বাকি জিনিসগুলো বাছাই করতে হবে।

ক্ষেত্র ১: একজাতীয় জিনিস থেকে ০টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ০টি বাছাই করার উপায় = \(1\) (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করার উপায় = \( \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(1 \times 56 = 56\)

ক্ষেত্র ২: একজাতীয় জিনিস থেকে ১টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ১টি বাছাই করার উপায় = \(1\) (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করার উপায় = \( \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(1 \times 70 = 70\)

ক্ষেত্র ৩: একজাতীয় জিনিস থেকে ২টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ২টি বাছাই করার উপায় = \(1\) (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করার উপায় = \( \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = \(1 \times 56 = 56\)

সর্বমোট বাছাই করার ভিন্ন ভিন্ন প্রকার = ক্ষেত্র ১ + ক্ষেত্র ২ + ক্ষেত্র ৩

= \(56 + 70 + 56\)

= \(182\)