Solve the following mathematical problems:

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

235

(a)

A basin can be filled by tap A in 5 hours and tap B in 8 hours, each tap working on its own When the basin in full and a drainage hole is open, the water is drained in 20 hours. If initially the basin was empty and someone started the two taps together but left the drainage hole open, how long does it take for the basin to be filled?

উত্তরঃ

Basin is filled by Ain 5 hours

$∴$ In 1 hour, $\frac{1}{5}$ part of Basin is filled

Similarly by ‘ B’ in 1 hour, $\frac{1}{8}$ part of Basin is filled

The both tap can fill in 1 hour = $\frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{8 + 5}{40} = \frac{13}{40}$ part of Basin

As, the leak can empty the fill Basin in 20 hours

$∴$ In 1 hour, the leak can empty $\frac{1}{20}$ part of Basin.

$∴$ The amount of water remain in the Basin in 1 hour= $\frac{13}{40} - \frac{1}{20} = \frac{13 - 2}{40} = \frac{11}{40}$ part of Basin

Thus, while two taps are working,

$\frac{11}{40}$ of the Basin is filled in = 1 hour

$∴$ 1 or full part of the Basin is filled n = $\frac{1 \times 40}{11} = \frac{40}{11} = 3 \frac{7}{11}$ hour

PRONAY TIRKI

2 years ago

(b)

A circular garden is surrounded by a road. If the outer circumference of the road is greater than the inner circumference by 88 meters, what is the width of the road?

উত্তরঃ

Let, Radius of the garden with road is = R meter

& Radius of the garden without road is = r meter

$∴$ Outer circumstance of the garden 2πR meter

$∴$ Inner circumstance of the garden 2πr meter

Here, width of the road (R-r) meter

According to question,

2πR - 2πr = 88

= (R - r) $\times$ 2π= 88

$∴$ R-r= $\frac{88}{2 π} = \frac{88}{\frac{2 \times 22}{7}} = \frac{88}{1} \times \frac{7}{2 \times 22} = 14 m e t e r s$

$∴$ Width of the road is 14 meters.

PRONAY TIRKI

2 years ago

(c)

A micro-bus was hired at Tk. 5,500 to travel intercity. The fare is to be shared equally among the passenger on the day of travel, but due to the absence of 5 passengers, the average fare per person was doubled. How many people availed the service?

উত্তরঃ

x number of person were supposed to travel

$∴$ Per head cost = $\frac{5500}{x}$ taka

But, due to absence, new per head cost will be $\frac{5500}{x - 5}$ taka

According to question,

$\frac{5500}{x} \times 2 = \frac{5500}{x - 5} = \frac{2}{x} = \frac{1}{x - 5} [D i v i d i n g b o t h s i d e s b y 5500] = 2 x - 10 = x = 2 x - x = 10 ∴ x = 10 ∴ N u m b e r o f p e r s o n w h o w e r e a v a i l e d t h e s e r v i c e = 10 - 5 = 5$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(d)

$i f a + \frac{1}{a} = 3, p r o v r t h a t a^{4} + \frac{1}{a^{4}} = 119$

উত্তরঃ

$G i v e n t h a t, a + \frac{1}{a} = 3 L . H . S = a^{4} + \frac{1}{a^{4}} = {(a^{2})}^{2} + {(\frac{1}{a^{2}})}^{2} = (a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) - 2 \times a^{2} \times \frac{1}{a^{2}} [∵ a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b] = {(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})}^{2} - 2 = {{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 2 \times a \times \frac{1}{a}}^{2} - 2 = {{(3)}^{2} + 2}^{2} - 2 = {(9 + 2)}^{2} - 2 = 11^{2} - 2 = 121 - 2 = 119 ∴ L . H . S . = R . H . S . (P r o v e d)$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(e)

Sum of ages of mother and daughter is 60 years. 5 years ago, the ratio of their age were 4:1. What will be the ratio of their age after 10 years?

উত্তরঃ

5 years age, mother's age was 4x years & daughter's age was x years

$∴$ There present age will be (4x + 5) and (x + 5) years respectively.

According to the question,

4x + 5 + x + 5 = 60

=5x + 10 = 60

= 5x = 60 - 10

$∴$ x= $\frac{50}{5} = 10$

$∴$ After 10 years, they will be = (4x + 5 + 10) : (x + 5 + 10) = (4 $\times$ 10 + 5 + 10) : (10 + 5 + 10)

= (40 + 15) : 25 = 55 : 25 = 11 : 5

PRONAY TIRKI

2 years ago

(f)

In a boys school, if 5 students sit in every bench, 4 benches are empty. But if 3 students sit in every bench. 20 students are left standing. What is the number of benches in the class?

উত্তরঃ

Let, number of total bench is x

$∴$ Number of students = 5x - (4 $\times$ 5) = 5x - 20

In second case, number of students will bc = 3x + 20

According to the question,

5x - 20 = 3x + 20

= 5x - 3x = 20 + 20

= 2x = 40

$∴$ $x = \frac{40}{2} = 20$

$∴$ Number of benches is 20.

PRONAY TIRKI

2 years ago

(g)

The sum of three times the smaller and four times the larger is 71 and twice the larger of two numbers is three more than five times the smaller. What are the numbers?

উত্তরঃ

Larger number is x & smaller number is y.

According to question,

4x + 3y =71........(i)

and 2x = 5y + 3 (ii)

From equation (ii)

2x = 5y + 3

=2x-5y=3…………(iii)

Multiplying equation (iii) by 2 and subtracting it from equation (i), we get

$\frac{4 x + 3 y = 71 4 x - 10 y = 6 - + -}{13 y = 65} = y = \frac{65}{13} = 5$

Putting (y = 5) in equation (ii) we get,

2x = 5y + 3

=2x = (5 $\times$ 5) + 3 = 25 + 3 = 28

$∴$ x= $\frac{28}{2} = 14$

$∴$ Larger number 14 and smaller number 5.

PRONAY TIRKI

2 years ago

235

MCQ: 254 CQ: 117

Practice

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and cistern)

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and Cistern)

নল ও চৌবাচ্চা অধ্যায়ে পানির ট্যাংক (চৌবাচ্চা) ভরাট করা বা খালি করার সময় নলগুলোর কাজের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি মূলত “সময় ও কাজ” অধ্যায়ের একটি বিশেষ প্রয়োগ।

১: দুজন কাজ করলে বা দুটি নল থাকলে

(১-ক) দু জন ব্যক্তি অথবা দুটি নলের একত্রে কাজ:
- শর্টকাট: Single + Single = Together = $\frac{A \times B}{A + B}$ days.
(১-খ) দুজনের একসাথে কাজ একজনের কাজ:
- একটি নল দ্বারা পানি ঢুকলে এবং আরেকটি দিয়ে বের হলে অথবা দুজনের কাজ থেকে একজনের কাজ বিয়োগ করলে অন্যজনকে কতদিন লাগবে তা বের হবে।
- এ ধরনের অংক খুব দ্রুত করতে চাইলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করুন: শর্টকাট: Together - Single = Single = $\frac{A \times B}{B i g - s m a l l}$
- সূত্রের ব্যাখ্যা: উপরে দুজনের একাকী কাজ করার দিন গুণ করতে হবে এবং নিচে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।

২: দু'য়ের অধিক নল থাকলে বা দু' জনের বেশী কাজ করলে

দুজনের থেকে অধিক মানুষ কাজ করলে অথবা দুটি নলের থেকে বেশি নল থাকলে উপরের দুটি নিয়মের মতই সমাধান করতে হয়। তবে এক্ষেত্রে শর্টকার্ট সুত্রের থেকে বুঝে বুঝে কম লিখে সমাধান করলেই সময় কম লাগবে।
- Shortcut: তিনজন কাজ করলে = $\frac{A B C}{A B + B C + C A}$

৩ঃ পূর্ণ অংশ না থেকে ভগ্নাংশ দেয়া থাকলে

যে ভগ্নাংশেরই কাজের সময় বের করতে বলা হোক না কেন, প্রথমে ১ অংশ কাজ করতে কত সময় লাগবে তা বের করার পর বাকী অংশের হিসেব করতে হবে। মনে রাখবেন, ১ অংশ কাজ করার সময় $\times$ ভগ্নাংশ = ঐ ভগ্নাংশ কাজ করার সময়।

Ratio Table
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
১০ দিনে	১৫ দিনে	৬ দিনে	১০ : ১৫ = ৬
২০ দিনে	৩০ দিনে	১২ দিনে	২০ : ৩০ = ১২
৩০ দিনে	৪৫ দিনে	১৮ দিনে	৩০ : ৪৫ = ১৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

অধিকাংশ প্রশ্নগুলো এই দুটি টেবিলের সংখ্যাগুলোই বেশি ব্যবহৃত হয়। তাই মনে রাখতে পারলে সহজ হবে।
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
৩ দিনে	৬ দিনে	২ দিনে	৩ : ৬ = ২
৬ দিনে	১২ দিনে	৪ দিনে	৬ : ১২ = ১২
১২ দিনে	২৪ দিনে	৮ দিনে	১২ : ২৪ = ৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

মৌলিক ধারণা

যদি একটি নল চৌবাচ্চা ভরাট করে, তবে সেটিকে Inlet pipe বলা হয়। আর যদি একটি নল চৌবাচ্চা খালি করে, তবে সেটিকে Outlet pipe বলা হয়।

ভরাট করার নলের কাজকে ধনাত্মক (+) এবং খালি করার নলের কাজকে ঋণাত্মক (−) ধরা হয়।

মৌলিক সূত্র

নল ও চৌবাচ্চার সমস্যায় এক দিনে মোট কাজ নির্ণয় করা হয়:

মোটকাজ = ভরাটেরহার - খালিকরারহার

একটি নল যদি x দিনে ভরে

তাহলে ১ দিনে সেই নলের কাজ হবে:

$\frac{1}{x}$

ভরাট ও খালি নল একসাথে কাজ করলে

যদি একটি নল x দিনে ভরে এবং আরেকটি নল y দিনে খালি করে, তবে মোট কাজের হার হবে:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

মোট সময় নির্ণয়

মোট সময় = ১ ÷ মোট কাজের হার

সময় $= \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ভরাট নল → ধনাত্মক কাজ (+)
খালি নল → ঋণাত্মক কাজ (−)
যত বেশি নল খালি করে, তত সময় বেশি লাগে
LCM ব্যবহার করলে হিসাব সহজ হয়

উদাহরণ

একটি নল একটি চৌবাচ্চা ১০ ঘণ্টায় ভরে। আরেকটি নল ১৫ ঘণ্টায় খালি করে। তাহলে একসাথে কাজ করলে চৌবাচ্চা ভরবে ধীরে বা কখনো খালি থাকতে পারে, যা কাজের হারের উপর নির্ভর করে।

মনে রাখার উপায়

যে নল পানি দেয় সেটি +, যে নল পানি বের করে সেটি −। মোট কাজ = (ভরাট − খালি)।

Related Question

View All

(ক)

x + \frac{1}{x} = 3

হলে,

x^{9} + \frac{1}{x^{9}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

1.8k

উত্তরঃ

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

Azizar Rahman Aziz

3 years ago

1.8k

(খ)

x + y = 1, k x + y = 2

এবং

x + k y = 3

হলে, K এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations)

1.3k

উত্তরঃ

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

\[x+y=1 \quad \text{(1)}\] \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\] \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

\[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

\[kx+(1-x)=2\] \[kx-x=2-1\] \[x(k-1)=1\]

যদি $k=1$ হয়, তবে $x(1-1)=1$ অর্থাৎ $0=1$, যা অসম্ভব। সুতরাং, $k \neq 1$।

\[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

\[y=1-x\] \[y=1-\frac{1}{k-1}\] \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\] \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

\[x+ky=3\] \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে $(k-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু $k \neq 1$):

\[1+k(k-2)=3(k-1)\] \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

\[k^2-2k-3k+1+3=0\] \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

\[k^2-4k-k+4=0\] \[k(k-4)-1(k-4)=0\] \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, $k-1=0$ অথবা $k-4=0$

\[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি $k=1$ হয়, তবে $0=1$ হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, $k=1$ হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, $k=1$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো $k=4$।

Satt AI

2 weeks ago

1.3k

(ক)

a = \sqrt{5} + \sqrt{3}

হলে,

\frac{a^{2} + 2}{2 a}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

579

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: $\frac{a^2+2}{2a}$

প্রথমে $a^2$ এর মান নির্ণয় করি:

$a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$

$a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

$a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{15}$

এখন, প্রদত্ত রাশিতে $a$ এবং $a^2$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{5}}{2}$

$= \sqrt{5}$

সুতরাং, $\frac{a^2+2}{2a}$ এর মান $\sqrt{5}$।

Satt AI

1 week ago

579

(ক)

x + \frac{1}{x} = 5

হলে

x^{4} + \frac{1}{x^{4}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 41st BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

995

উত্তরঃ

নাজমুল আহসান

2 years ago

995

(খ)

সমাধান করুন:

\frac{x - a}{x - b} + \frac{x - b}{x - a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

BCS 41st BCS Written গণিত সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

333

Add Explanation

333

(খ)

যদি

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7

হয় তবে,

\frac{x^{6} + 1}{x^{3}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

738

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \]

আমরা জানি,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 7 + 2 \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9 \]

\[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{9} \]

\[ x + \frac{1}{x} = 3 \]

এখন, আমাদের নির্ণয় করতে হবে $\frac{x^6+1}{x^3}$ এর মান।

\[ \frac{x^6+1}{x^3} = \frac{x^6}{x^3} + \frac{1}{x^3} \]

\[ = x^3 + \frac{1}{x^3} \]

আমরা জানি, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

সুতরাং,

\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\[ = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

$x + \frac{1}{x} = 3$ এর মান বসিয়ে পাই,

\[ = (3)^3 - 3(3) \]

\[ = 27 - 9 \]

\[ = 18 \]

সুতরাং, $\frac{x^6+1}{x^3}$ এর মান 18।

Satt AI

2 weeks ago

738

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Solve the following mathematical problems:

Ratio Table

Related Question

Related Question

Promotion