What is the least number that when divided by 44 leaves a remainder 31, when divided by 56 leaves a remainder 43 and when divided by 32 leaves a remainder 19?

প্রদত্ত যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয়ের জন্য, আমরা যোগফলের প্রতিটি পদকে ৮ দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষগুলোর যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করে মোট ভাগশেষ নির্ণয় করতে পারি।

ধাপ ১: প্রতিটি পদের সাধারণ রূপ নির্ণয়।

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ২ + ২২ + ৩২ + ... + ২০১৮২ + ২০১৯২।

ধারার প্রতিটি পদ ২ দ্বারা শেষ হয়। যেকোনো সংখ্যা যা ২ দ্বারা শেষ হয়, তাকে \(10k+2\) আকারে লেখা যায়, যেখানে \(k\) হলো প্রথম ডিজিট বা ডিজিটগুলো।

যেমন:

    
• ২ = \(10 \times 0 + 2 \Rightarrow k=0\)
    
• ২২ = \(10 \times 2 + 2 \Rightarrow k=2\)
    
• ৩২ = \(10 \times 3 + 2 \Rightarrow k=3\)
    
• ...
    
• ২০১৮২ = \(10 \times 2018 + 2 \Rightarrow k=2018\)
    
• ২০১৯২ = \(10 \times 2019 + 2 \Rightarrow k=2019\)

সুতরাং, \(k\)-এর মানগুলো হলো \(0, 2, 3, 4, \ldots, 2019\)।

ধাপ ২: প্রতিটি পদকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয়।

আমরা প্রতিটি পদ \(10k+2\)-কে ৮ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ নির্ণয় করব।

\((10k+2) \text{ mod } 8 = (8k + 2k + 2) \text{ mod } 8 = (2k+2) \text{ mod } 8\)।

এটি \((2(k+1)) \text{ mod } 8\) এর সমান। আমরা \((k+1)\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে ভাগশেষ নির্ণয় করতে পারি:

    
• যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 1\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+1\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+2\)। ভাগশেষ হবে \(2\)।
    
• যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 2\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+2\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+4\)। ভাগশেষ হবে \(4\)।
    
• যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 3\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+3\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+6\)। ভাগশেষ হবে \(6\)।
    
• যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 0\) হয়, তবে \(k+1 = 4m\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m\)। ভাগশেষ হবে \(0\)।

ধাপ ৩: প্রতিটি পদের ভাগশেষের যোগফল নির্ণয়।

মোট পদের সংখ্যা: \(1 \text{ (for } k=0) + (2019-2+1) \text{ (for } k=2 \text{ to } 2019) = 1 + 2018 = 2019\)টি।

    
1. প্রথম পদ (যখন \(k=0\)):         
   \(k+1 = 0+1 = 1\)।         
   \(1 \text{ mod } 4 = 1\)।         
   সুতরাং, ভাগশেষ = \(2\)।
    
2. বাকি পদগুলো (যখন \(k=2\) থেকে \(k=2019\)):         
   এই অংশে মোট পদসংখ্যা \(2019 - 2 + 1 = 2018\)টি।         
   \(k+1\)-এর মানগুলো হবে \(3, 4, 5, \ldots, 2020\)।         
   \((k+1) \text{ mod } 4\) এর ক্রম এবং সংশ্লিষ্ট ভাগশেষগুলো নিম্নরূপ:         
               
   • \(k=2 \Rightarrow k+1=3 \Rightarrow 3 \text{ mod } 4 = 3 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(6\)
               
   • \(k=3 \Rightarrow k+1=4 \Rightarrow 4 \text{ mod } 4 = 0 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(0\)
               
   • \(k=4 \Rightarrow k+1=5 \Rightarrow 5 \text{ mod } 4 = 1 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(2\)
               
   • \(k=5 \Rightarrow k+1=6 \Rightarrow 6 \text{ mod } 4 = 2 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(4\)
           
           
   এই \((6, 0, 2, 4)\) ক্রমটি পুনরাবৃত্তি হয়, যার যোগফল \(6+0+2+4 = 12\)।         
   মোট \(2018\)টি পদ রয়েছে।         
   \(2018 \div 4 = 504\)টি পূর্ণ চক্র।         
   পূর্ণ চক্রগুলোর ভাগশেষের যোগফল = \(504 \times 12 = 6048\)।         
   বাকি আছে \(2018 \text{ mod } 4 = 2\)টি পদ। এই দুটি পদ হলো পরের চক্রের প্রথম দুটি পদ: \(6\) এবং \(0\)।         
   এই বাকি দুটি পদের জন্য \(k=2018\) এবং \(k=2019\):         
               
   • \(k=2018 \Rightarrow k+1=2019 \Rightarrow 2019 \text{ mod } 4 = 3 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(6\)।
               
   • \(k=2019 \Rightarrow k+1=2020 \Rightarrow 2020 \text{ mod } 4 = 0 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(0\)।
           
           
   সুতরাং, \(k=2\) থেকে \(k=2019\) পর্যন্ত পদগুলোর ভাগশেষের যোগফল = \(6048 + 6 + 0 = 6054\)।

ধাপ ৪: মোট ভাগশেষ নির্ণয়।

সমস্ত পদের ভাগশেষের মোট যোগফল = (প্রথম পদের ভাগশেষ) + (বাকি পদগুলোর ভাগশেষের যোগফল)

মোট যোগফল = \(2 + 6054 = 6056\)।

সবশেষে, এই মোট যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ নির্ণয় করতে হবে:

\(6056 \text{ mod } 8\)

যেহেতু \(6056 = 8 \times 757\), তাই ভাগশেষ \(0\)।

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, কোনো সংখ্যাকে যখন 4 এবং তার ভাগফলকে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 1 এবং 4  থাকে। সংখ্যাটিকে 5 এবং তার ভাগফলকে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ কত থাকবে? 

Let, the number be x

and the quotient be y

 So, x = 4y + 1 ……………….. (i) 

Again, the quotient of y and z 

So, y= 5z+4………………….(ii)

If z = 1 then y = 5.1 +4= 5+4= 9

From (i) x = 4 x 9 = 36

x= 36+1=37 

Now, $37÷5 = 7\frac{5}{2}= 2$

again, $4÷7=1\frac{4}{3}=3$

ans. The respective remainders will be 2 & 3. 

ধরি, লিচু ছিল x টি।

যেহেতু বলা আছে মোটামুটি ১০০০ লিচু থাকার কথা, তাহলে ১০০০ এর কাছাকাছি সংখ্যা ধরতে হবে যা মোট লিচু থেকে ৩০টি লিচু বাদ দিলে ৮০ ধারা বিভাজ্য হবে, ৯০ দ্বারা বিভাজ্য হয় ১০০০ এর কাছাকাছি সংখ্যা ৯৯০।

১ম শর্ত অনুযায়ী

৩০টি লিচু বাদ দিলে সংখ্যা হবে ৯৯০ - ৩০ = ৯৬০

তাহলে ৮০ এর গুণিতক = ৮০ $\times$ ১২ = ৯৬০ (গুণিতক ১২)

প্রশ্নমতে, $\frac{x-৩০}{৮০}=১২$

বা, (x – ৩০) = ৯৬০

বা, ১০x = ৯৬০ + ৩০

∴ x = ৯৯০

উত্তর: ৯৯০টি লিচু ছিল।