x = 1 , y = x - 2 এবং $y^{2} = x$ রেখাত্রয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Find the area of the region bounded by x = 1 y = x - 2 and $y^{2} = x$ .)

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

উচ্চতর গণিত DU A Unit - 2025

349

উত্তরঃ

এখানে, y = (x - 2) ও y²= x এর ছেদবিন্দু নির্ণয়:

$(x - 2)^{2} = x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 = x \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 ∴ x = 1, 4 ∴ y = - 1, 2 [∵ y = x - 2]$

ছেদবিন্দুদ্বয় (1,-1) ও (4,2)

আবদ্ধ ক্ষেত্রফল $= \int_{1}^{4} (y_{u} - y_{1}) d x \int_{1}^{4} = \{\sqrt{x} - (x - 2)\} d x = \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - x + 2) d x = {[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x]}_{1}^{4}$

$= (\frac{4^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{4^{2}}{2} 2 \times 4) - (\frac{1^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{1^{2}}{2} + 2 \times 1)$

$= 8 \times \frac{2}{3} - 8 + 8 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2} = \frac{16}{3} + \frac{1}{2} - \frac{8}{3}$

$= \frac{32 + 3 - 16}{6} = \frac{16 + 3}{6} = \frac{19}{6}$ বর্গ একক

Md Zahid Hasan

1 year ago

349

MCQ: 17.7k CQ: 271

Practice

Related Question

View All

(i)

যোগজীকরণ কর :

\int 2^{\ln x} dx

উচ্চতর গণিত RUET - 2019

456

উত্তরঃ

$Let, I = \int 2^{\ln x} dx = 2^{\ln x} \int d x - \int ({\frac{d}{d x}}^{(2^{\ln x})} \int d x) d x$

$= 2^{\ln x} . x - \int 2^{\ln x} . l n 2. \frac{1}{x} . x d x = x 2^{\ln x} - l n 2 \int 2^{\ln x} d x$

$= x 2^{\ln x} - I . l n 2$

$∴ I + I l n 2 = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I (I + l n 2) = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I = \frac{x 2^{\ln x}}{1 + l n 2} + C$

Almumen

3 years ago

456

(ii)

দেখাও যে

\int_{a}^{b} \frac{f (x) d x}{f (a + b - x) + f (x)} = \frac{b - a}{2}

উচ্চতর গণিত RUET - 2019

429

উত্তরঃ

Almumen

3 years ago

429

(A)

প্রমান কর যে,

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

উচ্চতর গণিত RUET - 2008

478

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + . . . .) - 1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . .)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . . .}{1}$

$= 1 ∴ L . H . S = R . H . S (P r o v e d)$

Almumen

3 years ago

478

(B)

মান নির্ণয় কর:

\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}

উচ্চতর গণিত RUET - 2008

481

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{4 s i n^{3} x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{3} \times 4$

$= 4 \times 1 = 4 (A n s)$

Almumen

3 years ago

481

(A)

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : $\frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

উচ্চতর গণিত RUET - 2008

461

উত্তরঃ

$\frac{d}{d x} (x^{x^{x}}) = \frac{d}{d x} (e^{l n x^{x^{x}}}) = e^{\ln^{x^{x^{x}}}} \frac{d}{d x} (x^{x} \ln x)$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x \frac{d}{d x} (x^{x})\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} \frac{d}{d x} (x l n x)\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} (x \frac{1}{x} l n x)\}$

$= x^{x^{x}} x^{x} \{\frac{1}{x} + l n x (1 + l n x)\} (A n s)$

Almumen

3 years ago

461

(B)

যদি

y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}

হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

(1 - x^{2}) y_{2} - x y_{1} = 2

উচ্চতর গণিত RUET - 2008

530

উত্তরঃ

$y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1} = 2 (\cos^{- 1} x) \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 y$

$∴ y_{1}^{2} (- 2 x) + (1 - x^{2}) 2 y_{1} y_{2} = 4 y_{1}$

$\Rightarrow (1 - x^{2}) y_{2} - {xy}_{1} = 2 (Proved)$

Almumen

3 years ago

530

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

x = 1 , y = x - 2 এবং $y^{2} = x$ রেখাত্রয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Find the area of the region bounded by x = 1 y = x - 2 and $y^{2} = x$ .)

Related Question

Related Question

Promotion

Notification

x = 1 , y = x - 2 এবং y2=x রেখাত্রয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Find the area of the region bounded by x = 1 y = x - 2 and y2=x.)

Related Question

Related Question

Promotion

x = 1 , y = x - 2 এবং $y^{2} = x$ রেখাত্রয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Find the area of the region bounded by x = 1 y = x - 2 and $y^{2} = x$ .)