$x^2+\frac{1}{x^2}=10$ একটি বীজগাণিতিক রাশি।  

দেওয়া আছে, $a+b+c=15$

                      $a^2+b^2+c^2=83$

আমরা জানি, $2(ab + bc + ca)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)$

                                                                 $=(15{)}^2-83=225-83=142$

$\therefore ab + bc + ca =\frac{142}{2}=71$

দেওয়া আছে,  $a + b + c = 15$  

$c = 5$ হলে, $a + b + 5 = 15$

বা, $a + b = 15 - 5$

$\therefore$ $a + b = 10$

আবার, $a^2+b^2+c^2=83$

বা, $a^2+b^2+(5{)}^2=83$ [ $\because$ $c=5]$

বা,  $a^2+b^2=83-25$

বা, $a^2+b^2=58$

বা, $(a+b{)}^2-2ab=58$

বা, $(10{)}^2-2ab=58 [ \because a + b = 10 ]$

বা, $100 - 2ab = 58$

বা, $- 2ab = 58 - 100$

বা, $- 2ab = - 42$

বা, $2ab = 42$

বা, $ab = \frac{42}{2} = 21$

প্রদত্ত রাশি, $=a^3+b^3$

                    $=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

                    $=(10{)}^3-3\times 21\times 10$ [মান বসিয়ে]

                     $=1000-630-370$

  নির্ণেয় মান:  $370$

দেওয়া আছে, $a+b+c = 15$ ,$a^2+b^2+c^2=83$

ক' হতে প্রাপ্ত, $ab + bc + ca =71$

বামপক্ষ, $=(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$

               $=a^2+2ab+b^2+b^2+2bdotc+c^2+c^2+2ca+a^2$

                $=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca$

                 $=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)$

                $= 2 \times 83 + 2 \times 71 = 166 + 142 = 308 =$ডানপক্ষ

$\therefore (a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2=308$ (দেখানো হলো)  

$x^3-3x{y}^3 + 2y^3$

$=x^3-y^3-3x{y}^2 + 3y^3$

$=(x-y) (x^2+xy+y^2)-3y^2 (x-y)$

$= (x - y) (x^2+xy + y^2 - 3y^2)$

$= (x - y) (x^2+xy - 2y^2)$

দেওয়া আছে, $p^4-27p^2+1=0$ ; যেখানে $p>0$

বা, $p^4+1=27p^2$

বা, $\frac{p^4+1}{p^2}=\frac{27p^2}{p^2}$ [ উভয়পক্ষকে $p^2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{p^4}{p^2}+\frac{1}{p^2}=27$

$\therefore p^2+\frac{1}{p^2 }=27............\left(i\right)$

আবার, (i) নং সমীকরণ হতে পাই, $p^2+\frac{1}{p^2}=27$

বা, ${\left(p^2+\frac{1}{p^2}\right)}^2=(27{)}^2$ [ বর্গ করে]

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2+4.p^2.\frac{1}{p^2}=729$

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2=729-4$

বা, ${\left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)}^2=725$

বা, $p^2-\frac{1}{p^2}=\sqrt{725}$

$\therefore p^2-\frac{1}{p^2}=5\sqrt{29}..........\left(ii\right)$

প্রদত্ত রাশি $=p^4-\frac{1}{p^4}$

                  $=(p^2{)}^2-{\left(\frac{1}{p^2}\right)}^2$

                  $=\left(p^2+\frac{1}{p^2}\right) \left(p^2-\frac{1}{p^2}\right)$

                     $= 27\times 5\sqrt{29}$ [(i) ও (ii) নং হতে মান বসিয়ে]

                      $= 135\sqrt{29}$

নির্ণেয় মান : $135\sqrt{29}$

দেওয়া আছে, $m^3+\frac{1}{m^3}=198;$ যেখানে $m> 0$

বা, $\frac{m^6+1}{m^3 }=198$

বা, $m^6+1=198m^3$

বা, $m^6-198m^3+I=0$

বা, $(m^3{)}^2-2.m^{3}0.99+(99{)}^2-(99{)}^2+1=0$

বা, $(m^3-99{)}^2=9801-1$

বা, $(m^3-99{)}^2=9800$

বা, $m^3-99=\sqrt{9800}$ [বর্গমূল করে]

বা, $m^3-99=70\sqrt{2}$

বা, $m^3=70\sqrt{2}+99$

বা, $m^3=27+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}$

বা, $m^3=(3{)}^3+3\times 3^2\times 2\sqrt{2}+3\times 3\times {\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^3$

$$\begin{gathered} m^3={(3+2\sqrt{2})}^3 \\ \therefore m = 3 + \sqrt{2} \end{gathered}$$   

                                        (প্রমাণিত)