$\int \left(x\right)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}$ এবং  $a = \sqrt{5}+\sqrt{3}.$

দেওয়া আছে,

\(f(a) = 2a^3 + ka^2 - 32\)

প্রশ্নমতে, \(f(2) = 0\)

\(\therefore 2(2)^3 + k(2)^2 - 32 = 0\)

\(2(8) + k(4) - 32 = 0\)

\(16 + 4k - 32 = 0\)

\(4k - 16 = 0\)

\(4k = 16\)

\(k = \frac{16}{4}\)

\(k = 4\)

প্রদত্ত ফাংশন,

\(f(x) = \frac{4x-5}{3x-2}\)

প্রথমে \(f(x^{-1})\) এর মান নির্ণয় করি। এখানে \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)

\(f(x^{-1}) = f(\frac{1}{x})\)

\( = \frac{4(\frac{1}{x})-5}{3(\frac{1}{x})-2}\)

\( = \frac{\frac{4-5x}{x}}{\frac{3-2x}{x}}\)

\( = \frac{4-5x}{3-2x}\)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(f(x^{-1}) + \frac{1}{f(x^{-1})} - 1 = 2\)

ধরি, \(y = f(x^{-1})\)। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\(y + \frac{1}{y} - 1 = 2\)

\(y + \frac{1}{y} = 2 + 1\)

\(y + \frac{1}{y} = 3\)

উভয়পক্ষকে \(y\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(y^2 + 1 = 3y\)

\(y^2 - 3y + 1 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে \(y\) এর মান নির্ণয় করি:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}\)

\(y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}\)

\(y = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

এখন, \(f(x^{-1}) = \frac{4-5x}{3-2x}\) এর মান \(y\) এর দুটি মানের সাথে তুলনা করে \(x\) এর মান নির্ণয় করি:

Case 1: যখন \(f(x^{-1}) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{4-5x}{3-2x} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

\(2(4-5x) = (3+\sqrt{5})(3-2x)\)

\(8 - 10x = 9 - 6x + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}x\)

\(8 - 10x = (9+3\sqrt{5}) - (6+2\sqrt{5})x\)

\((6+2\sqrt{5})x - 10x = 9+3\sqrt{5} - 8\)

\((2\sqrt{5}-4)x = 1+3\sqrt{5}\)

\(x = \frac{1+3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \((2\sqrt{5}+4)\) দ্বারা গুণ করি:

\(x = \frac{(1+3\sqrt{5})(2\sqrt{5}+4)}{(2\sqrt{5}-4)(2\sqrt{5}+4)}\)

\(x = \frac{2\sqrt{5} + 4 + 6(5) + 12\sqrt{5}}{(2\sqrt{5})^2 - 4^2}\)

\(x = \frac{2\sqrt{5} + 4 + 30 + 12\sqrt{5}}{20 - 16}\)

\(x = \frac{34 + 14\sqrt{5}}{4}\)

\(x = \frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}\)

Case 2: যখন \(f(x^{-1}) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{4-5x}{3-2x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

\(2(4-5x) = (3-\sqrt{5})(3-2x)\)

\(8 - 10x = 9 - 6x - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}x\)

\(8 - 10x = (9-3\sqrt{5}) - (6-2\sqrt{5})x\)

\((6-2\sqrt{5})x - 10x = 9-3\sqrt{5} - 8\)

\((-4-2\sqrt{5})x = 1-3\sqrt{5}\)

\((4+2\sqrt{5})x = 3\sqrt{5}-1\)

\(x = \frac{3\sqrt{5}-1}{4+2\sqrt{5}}\)

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \((4-2\sqrt{5})\) দ্বারা গুণ করি:

\(x = \frac{(3\sqrt{5}-1)(4-2\sqrt{5})}{(4+2\sqrt{5})(4-2\sqrt{5})}\)

\(x = \frac{12\sqrt{5} - 6(5) - 4 + 2\sqrt{5}}{4^2 - (2\sqrt{5})^2}\)

\(x = \frac{12\sqrt{5} - 30 - 4 + 2\sqrt{5}}{16 - 20}\)

\(x = \frac{14\sqrt{5} - 34}{-4}\)

\(x = \frac{-(14\sqrt{5} - 34)}{4}\)

\(x = \frac{34 - 14\sqrt{5}}{4}\)

\(x = \frac{17 - 7\sqrt{5}}{2}\)

অতএব, \(x\) এর মান হলো \(\frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}\) অথবা \(\frac{17 - 7\sqrt{5}}{2}\)।

প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\)। এটি একটি কিউবিক সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল।

আমাদের লক্ষ্য হলো, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) ধারাটির মান নির্ণয় করা, যেখানে \(n = 10\)।

### **সূত্র:**
ধারা \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) এর যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি প্রমাণিত সূত্র রয়েছে:

\[
S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

এখানে, \(S\) হলো ধারাটির যোগফল এবং \(n\) হলো শেষ সংখ্যাটি।

### **ধারার জন্য প্রয়োগ:**

এখানে \(n = 10\)।

\[
S = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2
\]

প্রথমে ভিতরের অংশটি নির্ণয় করি:

\[
\frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55
\]

এখন \(55\) এর বর্গ করি:

\[
S = 55^2 = 3025
\]

 **উত্তর:** তাহলে, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) এর মান হলো **3025**।