XY সমতলে (5, 4) বিন্দুগামী $3x + by +10$ এবং $ax+6y+1=0$ দুইটি সরলরেখা।

$(-1,2)$ ও $(4,-3)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল $=\frac{-3-2}{4+1}=\frac{-5}{5}=-1$

শর্তমতে,  $\tan \theta =-1$

বা, $\tan \theta =-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

বা, $\tan \theta = \tan \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

বা, $\tan \theta = \tan \frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

বা, $\theta =\frac{3\mathrm{\pi }}{4}=\frac{3\times 180°}{4}=135°$

$\therefore$  $\theta =135°$

$\therefore$(- 1, 2) ও (4, - 3) বিন্দুগামী সরলরেখা X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $135°$ কোণ উৎপন্ন করবে।

এখানে, $3x+ by+1=0......... \left(1\right)$

$ax+6y+1=0......... \left(2\right)$

যেহেতু, (1) নং ও (2) নং সরলরেখাদ্বয় (5, 4) বিন্দুগামী। সুতরাং দুটি সমীকরণই (5, 4) দ্বারা সিদ্ধ হবে।

$15+4b+1=0$

বা, $4b =-16$

বা, $b =- 4$

আবার, $5a + 24 + 1 = 0$

বা, $5a=-25$

বা, $a=\frac{-25}{5}$

বা, $a = - 5$

a ও b এর মান বসালে সমীকরণদ্বয় দাঁড়ায়।

$3x - 4y + 1 = 0$

বা,$4y = 3x + 1$

বা, $y = \frac{3}{4}x +\frac{1}{4}$

$\therefore$ প্রথম রেখার ঢাল $= \frac{3}{4}$

এবং $- 5x + 6y + 1 = 0$

বা, $5x = 6y + 1$

বা, $6y = 5x - 1$

বা, $y = \frac{5}{6}x -\frac{1}{6}$

$\therefore$২য় রেখার ঢাল $=\frac{5}{6}$

নির্ণেয় সমীকরণদ্বয়ের ঢাল $=\frac{3}{4},\frac{5}{6}$

খ নং থেকে পাই, প্রথম রেখা : $3x-4y+1=0$

বা, $3x - 4y =- 1$

বা, $\frac{x}{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}+\frac{y}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=1$

প্রথম রেখার X-অক্ষের ছেদবিন্দু $A \left(\frac{-1}{3},0\right)$

দ্বিতীয় রেখা:  $-5x+6y+1= 0$

বা, $- 5x + 6y = - 1$

বা, $\frac{x}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+\frac{y}{{\displaystyle \frac{-1}{6}}}=1$

২য় রেখার Y-অক্ষের ছেদবিন্দু  $B \left(0,\frac{-1}{6}\right)$

$AB=\sqrt{{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$

O মূলবিন্দু হলে, $∆AOB$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ বর্গ একক

এখন, মূলবিন্দু হতে AB রেখার উপর লম্বের দৈর্ঘ্য OP হলে,

$\frac{1}{2}\times AB\times OP=\frac{1}{36}$

বা,  $OP=\frac{2}{36\times AB}=\frac{2}{36\times {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{6}}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}$ একক

অতএব, মূলবিন্দু থেকে AB রেখার দূরত্ব $\frac{1}{3\sqrt{5}}$ একক