xy সমতলে $A(t +1,1); B(2t+1,3)$ এবং $C (2t+2, 2t)$ বিন্দু তিনটি লেখচিত্রের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। $3x+by+1=0$ এবং $ax+6y+6= 0$ সরলরেখাদ্বয় x-অক্ষকে P বিন্দুতে ও y-অক্ষকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

দেওয়া আছে, সরলরেখার ঢাল, $m = - 1$

এখানে,  $m= \tan \theta$

বা, $\tan \theta =-1$

বা, $\tan \theta =-\tan 45°$

বা, $\tan \theta =\tan \left(2\times 90°-45°\right)$

বা, $\tan \theta =\tan 135°$

$\therefore$ $\theta =135°$

$\therefore$রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $135°$ কোণ তৈরি করে।

প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,

$3x+by+1=0$

$ax+6y+6=0$

রেখাদ্বয় পরস্পর $(5, 4)$ বিন্দুতে ছেদ্র করলে উভয় রেখাই উক্ত বিন্দুগামী হবে।

$\therefore$ $3.5 + b .4 + 1= 0$

বা, $15 + 4b + 1 = 0$

বা, $4b + 16 = 0$

এবং  $a. 5 + 6.4 + 6 = 0$

বা, $5a + 24 + 6 = 0$

বা, $5a + 30 = 0$

বা, $5a = - 30$

$\therefore$ $a = - 6$

$\therefore$ সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,

$3x+(- 4) y+1=0$

বা,  $3x- 4y+1 =0......... \left(i\right)$

এবং $-6x+6y+6= 0$

বা, $x-y- 1=0......... \left(ii\right)$

(i) নং রেখাটি x অক্ষকে P বিন্দুতে ছেদ করলে,

$3x-4.0+1=0$ [$\because$ x-অক্ষের উপর y = 0 ]

বা, $3x + 1 = 0$

বা, $3x = - 1$

বা,  $x=-\frac{1}{3}$

$\therefore$ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{1}{3}, 0\right)$

(ii) নং রেখাটি Y-অক্ষকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে,

$0-y-1 =0$   [y-অক্ষের উপর x = 0 ]

বা, $- y - 1 = 0$

বা, $y + 1 = 0$

$\therefore$ $y = - 1$

$\therefore$ Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, -1)

PQ রেখার ঢাল,

$m =-\frac{ 1 + 0}{0 - \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)} = \frac{- 1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}= (- 1) \times 3 = - 3$

$\therefore$ PQ রেখার সমীকরণ,

$y-0 =-3 \left\{x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right\}$

বা,  $y=-3 \left(x+\frac{1}{3}\right)$

বা,  $y = - 3x - 1$

$\therefore$ $3x + y + 1 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ  $3x + y + 1 = 0$

দেওয়া আছে,

$A(t + 1, 1)$

$B(2t + 1, 3)$

$C(2t + 2,2t)$

শর্তমতে,

$∆ABC$ এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গ একক

বা, $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}(t+1)& (2t+1)& (2t+2)& (t+1)\\ 1& 3& 2t& 1\end{array}\right|=9$

বা, $\frac{1}{2}\left\{\left(3t+3+4t^2+2t+2t+2\right)-\left(2t+1+6t+6+2t^2+2t\right)\right\}=9$

বা, $\frac{1}{2}\left\{\left(4t^2+7t+5\right)-\left(2t^2+10t+7\right)\right\}=9$

বা, $\frac{1}{2}\left\{\left(4t^2+7t+5-2t^2-10t-7\right)\right\}=9$

বা, $2t^2-3t-2=18$

বা, $2t^2-3t-2-18=0$

বা,  $2t^2-3t-20=0$

বা, $2t^2-8t+5t-20=0$

বা, $2t \left(t-4\right)+5\left(t-4\right)=0$

বা, $(t - 4)(2t + 5) = 0$

হয়, $t-4=0$

বা, $t = 4$

অথবা, $2t + 5 = 0$

বা, $2t = - 5$

বা, $t =-\frac{ 5}{2}$

t=4 হলে, $A(4 + 1, 1) = A(5, 1)$

$B(2\times 4 +1,3) = B(9, 3)$

$C(2\times 4 + 2,2\times 4) = C(10,8)$

$t=-\frac{5}{2}$,  $A\left(-\frac{3}{2},1\right)$

$B(- 4, 3)$

$C(- 3,- 5)$

যা গ্রহণযোগ্য নয় কেননা, A, B, C বিন্দুত্রয় লেখচিত্রের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

এখন, $∆ABC$ এর AB বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(5-9\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}$একক

$=\sqrt{16+4}$ একক

$=\sqrt{20}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(9-10\right)}^2+{\left(3-8\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{1+25}$ একক

$=\sqrt{26}$ একক

AC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(5-10\right)}^2+{\left(1-8\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{25+49}$ একক

$=\sqrt{74}$ একক

যেহেতু, $AB\ne BC\ne AC$

সুতরাং, $∆ABC$ একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।