y এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রথম পদ, \(a = 1\)

সাধারণ অনুপাত, \(r = \frac{(1+y)^{-1}}{1} = (1+y)^{-1} = \frac{1}{1+y}\)

একটি গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো \(|r| < 1\)।

সুতরাং, \(\left|\frac{1}{1+y}\right| < 1\)

এর অর্থ হলো, \(-1 < \frac{1}{1+y} < 1\)

এই অসমতাটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

১. \(\frac{1}{1+y} < 1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{1+y} - 1 < 0\)

\(\Rightarrow \frac{1 - (1+y)}{1+y} < 0\)

\(\Rightarrow \frac{-y}{1+y} < 0\)

\(\Rightarrow \frac{y}{1+y} > 0\)

এটি সত্য হবে যদি \(y > 0\) এবং \(1+y > 0\) (অর্থাৎ, \(y > 0\)) অথবা \(y < 0\) এবং \(1+y < 0\) (অর্থাৎ, \(y < -1\))।

অতএব, \(y > 0\) অথবা \(y < -1\)।

২. \(\frac{1}{1+y} > -1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{1+y} + 1 > 0\)

\(\Rightarrow \frac{1 + (1+y)}{1+y} > 0\)

\(\Rightarrow \frac{2+y}{1+y} > 0\)

এটি সত্য হবে যদি \(2+y > 0\) এবং \(1+y > 0\) (অর্থাৎ, \(y > -1\)) অথবা \(2+y < 0\) এবং \(1+y < 0\) (অর্থাৎ, \(y < -2\))।

অতএব, \(y > -1\) অথবা \(y < -2\)।

উভয় শর্তের সমন্বয় করে পাই: \( (y > 0 \text{ অথবা } y < -1) \) এবং \( (y > -1 \text{ অথবা } y < -2) \)

এই দুটি শর্তের ছেদ থেকে আমরা পাই: \(y < -2\) অথবা \(y > 0\)।

সুতরাং, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো, \(y < -2\) অথবা \(y > 0\)।

অসীমতক সমষ্টি, \(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{\frac{1+y-1}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{\frac{y}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1+y}{y}\)

নির্ণেয় অসীমতক সমষ্টি হলো \(\frac{1+y}{y}\)।