(i) $1+(1+y{)}^{-1}+(1+y{)}^{-2}+(1+y{)}^{-3}+............$

(ii) ${\left(x+\frac{k}{x}\right)}^7$ বিস্তৃতির k⁵ এর সহগ 567. 

উদ্দীপকের (i) নং ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ \(a = 1\) এবং দ্বিতীয় পদ \(T_2 = (1+y)^{-1}\)। ধারাটির সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{T_2}{a}\) সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়।

দেওয়া আছে, \(y = 2\)। সুতরাং, সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{(1+y)^{-1}}{1} = \frac{1}{1+y}\)। \(y\) এর মান বসিয়ে পাই, \(r = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\)। অতএব, ধারাটির সাধারণ অনুপাত হলো \(1/3\)।

উদ্দীপকের (ii) নং রাশিটি হলো ${\left(x+\frac{k}{x}\right)}^7$।

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ পদ, $T_{r+1}={}^{n}C_r{a}^{n-r}{b}^r$

এখানে, $a=x$, $b=\frac{k}{x}$ এবং $n=7$

সুতরাং, প্রদত্ত রাশির সাধারণ পদ,

$T_{r+1}={}^{7}C_r{\left(x\right)}^{7-r}{\left(\frac{k}{x}\right)}^r$

$={}^{7}C_r{x}^{7-r}\frac{k^r}{x^r}$

$={}^{7}C_r{x}^{7-r-r}{k}^r$

$={}^{7}C_r{x}^{7-<!--</mo--><mn>2</mn><mi>r</mi>}{k}^r$

এখানে $k^5$ এর সহগ নির্ণয় করতে হবে। তাই, $k^r$ এবং $k^5$ তুলনা করে পাই, $r=5$।

$r=5$ বসিয়ে পাই,

$={}^{7}C_5{x}^{7-10}{k}^5$

$={}^{7}C_5{x}^{-3}{k}^5$

যেখানে, ${}^{7}C_5=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

সুতরাং, $k^5$ এর সহগ হলো $21x^{-3}$।

প্রশ্নমতে, $k^5$ এর সহগ 567।

$21x^{-3}=567$

$x^{-3}=\frac{567}{21}$

$x^{-3}=27$

$\frac{1}{x^3}=27$

$x^3=\frac{1}{27}$

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

$x=\frac{1}{3}$

সুতরাং, $x$ এর মান $\frac{1}{3}$।

প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রথম পদ, \(a = 1\)

সাধারণ অনুপাত, \(r = \frac{(1+y)^{-1}}{1} = (1+y)^{-1} = \frac{1}{1+y}\)

একটি গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো \(|r| < 1\)।

সুতরাং, \(\left|\frac{1}{1+y}\right| < 1\)

এর অর্থ হলো, \(-1 < \frac{1}{1+y} < 1\)

এই অসমতাটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

১. \(\frac{1}{1+y} < 1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{1+y} - 1 < 0\)

\(\Rightarrow \frac{1 - (1+y)}{1+y} < 0\)

\(\Rightarrow \frac{-y}{1+y} < 0\)

\(\Rightarrow \frac{y}{1+y} > 0\)

এটি সত্য হবে যদি \(y > 0\) এবং \(1+y > 0\) (অর্থাৎ, \(y > 0\)) অথবা \(y < 0\) এবং \(1+y < 0\) (অর্থাৎ, \(y < -1\))।

অতএব, \(y > 0\) অথবা \(y < -1\)।

২. \(\frac{1}{1+y} > -1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{1+y} + 1 > 0\)

\(\Rightarrow \frac{1 + (1+y)}{1+y} > 0\)

\(\Rightarrow \frac{2+y}{1+y} > 0\)

এটি সত্য হবে যদি \(2+y > 0\) এবং \(1+y > 0\) (অর্থাৎ, \(y > -1\)) অথবা \(2+y < 0\) এবং \(1+y < 0\) (অর্থাৎ, \(y < -2\))।

অতএব, \(y > -1\) অথবা \(y < -2\)।

উভয় শর্তের সমন্বয় করে পাই: \( (y > 0 \text{ অথবা } y < -1) \) এবং \( (y > -1 \text{ অথবা } y < -2) \)

এই দুটি শর্তের ছেদ থেকে আমরা পাই: \(y < -2\) অথবা \(y > 0\)।

সুতরাং, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো, \(y < -2\) অথবা \(y > 0\)।

অসীমতক সমষ্টি, \(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{\frac{1+y-1}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1}{\frac{y}{1+y}}\)

\(S_{\infty} = \frac{1+y}{y}\)

নির্ণেয় অসীমতক সমষ্টি হলো \(\frac{1+y}{y}\)।