(খ)

প্রমাণ কর যে, P(F $\cap$ G)=P(F)$\cap$P(G)

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, সকল শিক্ষার্থীদের সেট S। এদের মধ্যে যেসব শিক্ষার্থী গোলাপ, বেলি ও হাসনাহেনা ফুল পছন্দ করে তাদের সেট যথাক্রমে G, B, HI তথ্যগুলো পাশের ভেনচিত্রে দেখানো হলো:

'ক' এর ভেনচিত্র হতে পাই,

n(G)= 57; n(B) =49; n(H)=37; n(G$\cap$B)=27

n(B$\cap$H) = 23; n(H$\cap$G) 29; n(G$\cap$B$\cap$H)=17

মনে করি, তিনটি ফুলের মধ্যে অন্তত একটি পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থী সংখ্যা n (G$\cup$B$\cup$H).

আমরা জানি,

n(G$\cup$B$\cup$H)=n(G)+ n(B) + n(H)-n(G$\cap$B)-n(B$\cap$H) -n(H$\cap$G)+n(G$\cap$B$\cap$H)

=57+49+37-27-23-29+17=81

তিনটি ফুলের কোনোটিই পছন্দ করে না এমন শিক্ষার্থী সংখ্যা,

n(GUBUH)'= n(S)-n(GUBUH)

= 100-81- 19 জন

19 জন শিক্ষার্থী তিনটি ফুলের কোনোটিই পছন্দ করে না।

কেবল গোলাপ পছন্দ করে

= n(G)-n(G$\cap$B)-n(H$\cap$G) + n(G$\cap$B$\cap$H)

(57-27-29+17) জন

=18 জন

কেবল বেলি পছন্দ করে

= n(B)-n(G$\cap$B)-n(B$\cap$H) + n(G$\cap$B$\cap$H)

=(49-27-23+17) জন = 16 জন

কেবল হাসনাহেনা পছন্দ করে

=n(H)-n(B$\cap$H)-n(H$\cap$G)+n(G$\cap$B$\cap$H)

=(37-23-29+17) জন

= 2 জন

তিনটি ফুলের কেবল একটি ফুল পছন্দ করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= (18+16+2) জন = 36 জন

36 জন শিক্ষার্থী ফুল তিনটির কেবল একটি ফুল পছন্দ করে।

দেওয়া আছে,

$E=\{x: x\in R$ এবং $x^2-(a+b) x+ab=0\}$

এখানে,

x² - (a + b) x + ab = 0

বা, x² - ax - bx + ab = 0

বা, x(x - a) - b(x - a) = 0

বা, (x - a)(x - b) = 0

হয়, x - a = 0

x = a

অথবা, x - b = 0

x = b

E = {a, b}

অতএব E সেটের উপাদানসমূহ হচ্ছে a, b.

'ক'-হতে প্রাপ্ত,

E= {a, b}

দেওয়া আছে,

F = {3, 4} এবং G = {4, 5, 6}

এখন, F$\cup$G =(3,4) (4,5,6) (3, 4, 5, 6)

E$\times$ (FUG )= {a, b}$\times${3, 4, 5, 6}

= {(a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (b, 3), (b, 4), (b, 5), (b, 6)}

E$\times$F = {a, b}$\times${3, 4}

= {(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)}

= {a, b}{3, 4}

E$\times$G = {a, b}$\times${4, 5, 6}

= {(a, 4), (a, 5), (a, 6), (b, 4), (b, 5), (b, 6)}

(E$\times$F)$\cup$ (E$\times$G) = ((a, 3), (a, 4), (b. 3), (b. 4)} $\cup$ {(a, 4), (a, 5), (a, 6), (b, 4), (b, 5), (b, 6)}

={(a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6) ,(b,3(b,4), (b, 5), (b. 6)}

E$\times$(FUG) = (E$\times$F) (E$\times$G). (দেখানো হলো)

উপসেট: যদি A সেটের প্রত্যেকটি উপাদান B সেটে বিদ্যমান থাকে, তবে A কে.B এর উপসেট বলে। একে প্রতীকে লেখা যায় A $\subseteq$B.
পূরক সেট: যদি A সেট সার্বিক সেট U এর একটি উপসেট হয় তবে A এর উপাদানগুলো বাদে সার্বিক সেটের অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এর পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে A' বা A^C দিয়ে সূচিত করা হয়।