একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি. এবং প্রস্থ 3 সে.মি. হলে, এর কর্ণ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য AB = a প্রশ্ন BC = b এবং কর্ণ AC = d

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

এখানে, ABC ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ABC সমকোণী ত্রিভুজে

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $d^2=a^2+b^2$

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ = $\sqrt{a^2+b^2}$ (দেখানো হলো)

এখানে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. এবং প্রস্থ , b = 4 সে.মি.।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য,

$d=\sqrt{a^2+b^2}$ একক

$=\sqrt{5^2+4^2}$  একক

= $\sqrt{41}$ একক

=6.403 সে.মি. (প্রায়)

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =6.403 সে.মি. (প্রায়)

এখানে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি. এবং কর্ণ d = 10 সে.মি.।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ, $d=\sqrt{a^2+b^2}$

শর্তমতে, $10=\sqrt{8^2+b^2}$

বা, 100 = 64 + $b^2$ [বর্গ করে]

বা, $b^2=100-64=36$

বা,  $b =\sqrt{ 36}$

b = 6

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক 

= (8 $\times$ 6) বর্গ সে.মি. = 48 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

এখানে,

আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ, d = 13 সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য a = 12 সে.মি.

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b একক

শর্তমতে

$\sqrt{a^2+b^2}=13$

বা,  $\sqrt{{12}^2+b^2}=13$

বা,  $144+b^2={13}^2$ [বর্গ করে]

বা, $144+b^2=169$

বা, $b^2=169-144=25$

b = 5 [বর্গমূল করে]

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(a + b) একক

                                     = 2(12+5) সে.মি.

                                    = 2 $\times$ 17 সে.মি. = 34 সে.মি.।

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সে.মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 100 সে.মি. এবং প্রস্থ b=20 সে.মি.

ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a একক

শর্তমতে, 2(a + b) = 100

বা, $a + b = \frac{100}{2}$

বা, a + 20 = 50

বা, a = 50 - 20

$\therefore$ a = 30

আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a $\times$ b বর্গ একক

                                               = 30 $\times$ 20 বর্গ সে.মি.

                                               = 600 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 সে.মি.।

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x সে.মি

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(2x + x) সে.মি.

                                     = 2 $\times$ 3x সে.মি. = 6x সে.মি.

প্রশ্নমতে, 6x = 66

বা, $x = \frac{66}{6}$

x = 11

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য= (2$\times$11) সে.মি. = 22 সে.মি.

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 22 সে.মি.।