সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

মনে করি, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য AB = a প্রশ্ন BC = b এবং কর্ণ AC = d

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

এখানে, ABC ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ABC সমকোণী ত্রিভুজে

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $d^2=a^2+b^2$

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ = $\sqrt{a^2+b^2}$ (দেখানো হলো)

এখানে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. এবং প্রস্থ , b = 4 সে.মি.।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য,

$d=\sqrt{a^2+b^2}$ একক

$=\sqrt{5^2+4^2}$  একক

= $\sqrt{41}$ একক

=6.403 সে.মি. (প্রায়)

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =6.403 সে.মি. (প্রায়)

এখানে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি. এবং কর্ণ d = 10 সে.মি.।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ, $d=\sqrt{a^2+b^2}$

শর্তমতে, $10=\sqrt{8^2+b^2}$

বা, 100 = 64 + $b^2$ [বর্গ করে]

বা, $b^2=100-64=36$

বা,  $b =\sqrt{ 36}$

b = 6

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক 

= (8 $\times$ 6) বর্গ সে.মি. = 48 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি. এবং প্রস্থ b = 3 সে.মি.।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং কর্ণ = d সে.মি.।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দের্ঘ্য  $\times$ প্রস্থ

অর্থাৎ, 12 = a $\times$ 3

বা, $a=\frac{12}{3}= 4$

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ, $d=\sqrt{a^2+b^2}$ একক

$=\sqrt{4^2+3^2}$ সে.মি.

$=\sqrt{16+9}$ সে.মি.

= $\sqrt{25}$ সে.মি. = 5 সে.মি.

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের কর্ণ  5 সে.মি.।

এখানে,

আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ, d = 13 সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য a = 12 সে.মি.

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b একক

শর্তমতে

$\sqrt{a^2+b^2}=13$

বা,  $\sqrt{{12}^2+b^2}=13$

বা,  $144+b^2={13}^2$ [বর্গ করে]

বা, $144+b^2=169$

বা, $b^2=169-144=25$

b = 5 [বর্গমূল করে]

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(a + b) একক

                                     = 2(12+5) সে.মি.

                                    = 2 $\times$ 17 সে.মি. = 34 সে.মি.।

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সে.মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 100 সে.মি. এবং প্রস্থ b=20 সে.মি.

ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a একক

শর্তমতে, 2(a + b) = 100

বা, $a + b = \frac{100}{2}$

বা, a + 20 = 50

বা, a = 50 - 20

$\therefore$ a = 30

আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a $\times$ b বর্গ একক

                                               = 30 $\times$ 20 বর্গ সে.মি.

                                               = 600 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 সে.মি.।

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x সে.মি

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(2x + x) সে.মি.

                                     = 2 $\times$ 3x সে.মি. = 6x সে.মি.

প্রশ্নমতে, 6x = 66

বা, $x = \frac{66}{6}$

x = 11

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য= (2$\times$11) সে.মি. = 22 সে.মি.

নির্ণেয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 22 সে.মি.।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 30 মিটার

শর্তমতে, 2(x + 3 + x) = 30

বা, $2x + 3 = \frac{30}{2}= 15$

বা, 2x = 15 - 3 = 12

বা, $x = \frac{12}{2}= 6$

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 6 মিটার।

এখানে, আয়তের দৈর্ঘ্য = 12 সে.মি.

এবং আয়তের প্রস্থ = 5 সে.মি.

আয়তের কর্ণ = √ (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²

= $\sqrt{{12}^2+5^5}$ সে.মি.

= $\sqrt{169}$ সে.মি.

= 13 সে.মি.

আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।

কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = (13+13) সে.মি. = 26 সে.মি.।

এখানে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 2) সে.মি.।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = x(x - 2) বর্গ সে.মি.

শর্তমতে

x(x - 2) = 35

বা, $x^2-2x-35=0$

বা,  $x^2-7x+5x-35=0$

বা, x(x - 7) + 5(x - 7) = 0

বা, (x - 7)(x + 5) = 0

হয়, x - 7 = 0   |  অথবা x + 5 = 0

$\therefore$ x = 7                  $\therefore$  x $\ne$ -5

$\therefore$ x এর মান 7

ঘরের প্রস্থ x মিটার হলে, দৈর্ঘ্য = $\frac{3x}{2}$ মিটার

শর্তমতে

$\frac{3x}{2} \times x = 864$

বা, $3x^2=1728$

বা, $x^2=\frac{1728}{3}$

বা, $x^2=576$

$x = \sqrt{576}= 24$

নির্ণেয় প্রস্থ 24 মিটার।

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = x মিটার

এবং আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য= x $\times$ 2 মিটার = 2x মিটার

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

বা, 512 = x $\times$ 2x

বা, $2x^2=512$

বা, $x^2=256=(16{)}^2$

$\therefore$ x = 16

দৈর্ঘ্য =  16 $\times$ 2 = 32 মিটার

পরিসীমা = 2 ( দৈর্ঘ্য+ প্রস্থ) = 2(32 + 16) মিটার = 96 মিটার

নির্ণেয় পরিসীমা 96 মিটার।

মনে করি, ABCD বর্গক্ষেত্রের প্রতি D বাহুর দৈর্ঘ্য, AB = BC = CD = AD = a এককএবং কর্ণ AC = d একক।

AC কর্ণ বর্গক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

এখানে, ABC ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

বর্গক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল = 2 $\times$$△$ ABC এর ক্ষেত্রফল

                                             $=2\times \frac{1}{2}\times a\times a=a^2$

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $d^2=a^2+a^2=2a^2$

$\therefore$ $d=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

বর্গের পরিসীমা = 4a একক

শর্তমতে, 4a = 12

বা, $a =\frac{12}{4}= 3$

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{2} a$ একক = $\sqrt{2}\times 3$ সে.মি. = $3\sqrt{2}$ সে.মি.

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য $3\sqrt{2}$ সে.মি.।

দেওয়া আছে, বর্গের ক্ষেত্রফল = 100 বর্গ সে.মি.

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = \sqrt{100}$ সে.মি. = 10 সে.মি.

বর্গের পরিসীমা = 4a একক = 4 $\times$ 10 সে.মি. = 40 সে.মি.

নির্ণেয় বর্গের পরিসীমা 40 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= 4\sqrt{2}$ সে.মি.

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{2}$a একক

শর্তমতে $\sqrt{2} a = 4\sqrt{2}$

বা, $a =\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= 4$

বর্গের পরিসীমা = 48 একক (4$\times$4) সে.মি. = 16 সে.মি.

নির্ণেয় বর্গের পরিসীমা 16 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বর্গের ক্ষেত্রফল  $= \frac{3}{4}$ বর্গ সে.মি.

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = $\sqrt{\frac{3}{4}}$ সে.মি. = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ সে.মি.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য$=\sqrt{2} a$  একক

= $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ সে.মি.

= $\frac{\sqrt{6}}{2}$ সে.মি.

= 1.225 সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 1.225 সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=7\sqrt{2}$ সে.মি.

ধরি, বর্গের এক বাহু =  a সে.মি.

শর্তমতে, $\sqrt{2}a =7\sqrt{2}$

বা, $a = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= 7$

বর্গের ক্ষেত্রফল = $a^2=7^2=49$  বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় বর্গের ক্ষেত্রফল 49 বর্গ সে.মি.।

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

প্রশ্নমতে, 4a = 16

বা, $a =\frac{16}{4}= 4$

বর্গটির ক্ষেত্রফল $=a^2=4^2=16$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সে.মি.।

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য $a\sqrt{2}$ সে.মি.

শর্তমতে, $a\sqrt{2} = 6$

বা, $a = \frac{6}{\sqrt{2}}$

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 $\times$ বাহুর দৈর্ঘ্য

$= 4 \times \frac{6}{\sqrt{2}}$

$=\frac{2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times 6}{\sqrt{2}}$

= $2\sqrt{2}$ সে.মি.

নির্ণেয় পরিসীমা $12\sqrt{2}$ সে.মি.

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 12 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\mathrm{\pi }{r}^2=3.1416 \times (12{)}^2$ বর্গ সে.মি.

= 3.1416 $\times$ 144 বর্গ সে.মি.

= 452.39 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

মনে করি, বর্গের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.

বর্গের ক্ষেত্রফল = $x^2$  বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে

$x^2=452.39$

বা, $x =\sqrt{452.39}= 21.2695$ (প্রায়)

নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য 21.2695 সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, ABCD সামান্তরিকক্ষেত্রের ভূমি AB = b এবং উচ্চতা DE = h । BD কর্ণ সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল = 2 $\times △$ ABD এর ক্ষেত্রফল $= 2 \times \frac{1}{2}$ b.h = bh

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল= bh. (দেখানো হলো)

মনে করি, ABCD সামান্তরিকের একটি কর্ণ AC = d এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু D থেকে AC এর উপর অঙ্কিত লম্ব DE = h কর্ণ AC সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল = 2 $\times$ A ACD এর ক্ষেত্রফল = $2\times \frac{1}{2}$ d.h = dh

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = dh.

দেওয়া আছে

সামান্তরিকের ভূমি = 18 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল = 216 বর্গ সে.মি.।

আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা

বা, 216 = 18 $\times$ উচ্চতা

বা, উচ্চতা = $\frac{216}{18}$ = 12 সে.মি.

সামান্তরিকের উচ্চতা 12 সে.মি.।

সামান্তরিকের উচ্চতা x মিটার হলে, ভূমি হবে $\frac{x}{3}$মিটার সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি$\times$উচ্চতা

বা, $507=\frac{x}{3}\times x$

বা, $x^2=1521$

বা,$x=\sqrt{1521}$

$\therefore$ $x=39$

নির্ণেয় সামান্তরিকের উচ্চতা 39 মিটার।

দেওয়া আছে, সামান্তরিকের কর্ণ, d = 24 সে.মি.

উক্ত কর্ণের উপর বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্ব, h = 7 সে.মি.।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল= d$\times$h বর্গ একক

= 24$\times$7 বর্গ সে.মি. = 168 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 168 বর্গ সে.মি.।

এখানে, সামান্তরিকের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য, d=16 সে.মি.

এবং ক্ষেত্রফল = 80 বর্গ সে.মি.

কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে ঐ কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল dh

অর্থাৎ, dh = 80

বা, 16$\times$h = 80

$\therefore$$h=\frac{80}{16}=5$ সে.মি.।

ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে উক্ত কর্ণের ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।

ধরি, সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় 4x ও 3x

$\therefore$সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(4x + 3x)= 14x

শর্তমতে, 14x = 28

বা, $x=\frac{28}{14}=2$

$\therefore$বৃহত্তম বাহু = 4$\times$2 = 8

ক্ষুদ্রতম বাহু= 3$\times$2 = 6

$\therefore$বাহুদ্বয়ের অন্তর = (8-6) সে.মি. = 2 সে.মি

নির্ণেয় বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর 2 সে.মি.।

দেওয়া আছে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 42 বর্গ সে.মি. এবং একটি একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $d=\frac{21}{2}$সে.মি.।

ধরি, d কর্ণের উপর বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্ব = h

$\therefore$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $d\times h$বর্গ একক

বা, $42=\frac{21}{2}\times h$

বা, $21\times h=42\times 2$

বা, $h=\frac{42\times 2}{21}$

$\therefore$ $h=4$

নির্ণেয় অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।

দেওয়া আছে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 625 বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

= 625. বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{625}$ মিটার  [বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²]

= 25 মিটার

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =$\sqrt{2}$$\times$বাহুর দৈর্ঘ্য

=$\sqrt{2}\times 25$ মিটার

= $35.36$মিটার

নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 35.36 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, ABCD রম্বসের কর্ণ AC = d₁ ও কর্ণ BD = d₂ এবং কর্ণদ্বয় পরম্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

কর্ণ AC রম্বসক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore$ $∆$ACD এর উচ্চতা $=OD=\frac{BD}{2}=\frac{d_2}{2}$

$\therefore$ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল = $2\times ∆ACD$এর ক্ষেত্রফল

$=2\times \frac{1}{2}{d}_1.\frac{d_2}{2}=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

$\therefore$ রম্বসের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, রম্বসের ক্ষেত্রফল= 54 বর্গ সে.মি. রম্বসটির একটি কর্ণ d₁=9 সে.মি

এবং অপর কর্ণ d₂ সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল= $\frac{1}{2}\times$কর্ণদ্বয়ের গুণফল

$\therefore$ রম্বসটির ক্ষেত্রফল=$\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=54$

বা,  $\frac{1}{2}\times 9\times d_2=54$

বা, $d_2=\frac{54\times 2}{9}=12$

$\therefore$ $d_2=12$

নির্ণেয় রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

এখানে, রম্বসের একটি কর্ণ, d₁ = 20 সে.মি.

এবং অপর কর্ণ, d₂ = 24 সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল$=\frac{1}{2}\times$কর্ণদ্বয়ের গুণফল

রম্বসের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times d_1\times d_2$

$=\frac{1}{2}\times 20\times 24$ বর্গ সে.মি

$=240$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় রম্বসের ক্ষেত্রফল 240 বর্গ সে.মি.।

মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AB = a একক, CD = b একক এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব CE = AF = h।

কর্ণ AC ট্রাপিজিয়াম ABCD ক্ষেত্রটিকে $∆$ABC ও $∆$ACD ক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল

= $∆$ABC এর ক্ষেত্রফল +$∆$ACD এর ক্ষেত্রফল

=$\frac{1}{2}AB\times CE\times AF$

$=\frac{h\left(a+b\right)}{2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)h$

নির্ণেয় ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল: $\frac{1}{2}\left(a+b\right)h$

এখানে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a = 91 সে.মি. এবং b = 51 সে.মি.।

ধরি, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব = h সে.মি.।

অর্থাৎ, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times (a + b)\times h$

বা,  $1491 = \frac{1}{2}\times (91 + 51)\times h = \frac{1}{2} \times 142 \times h = 71 \times h$

বা, $h = \frac{1491}{71}$

$\therefore$ h = 21

নির্ণেয় সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 21 সে.মি.।

দেওয়া আছে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গড় = 50 সে.মি. এবং মধ্যবর্তী দূরত্ব 20 সে.মি.।

ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল = (2 $\times$ 50) সে.মি

                                                                     = 100 সে.মি

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল $\times$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

                                    $= \frac{1}{2}\times 100 \times 20$  বর্গ সে.মি.

                                   = 1000 বর্গ সে.মি

'নির্ণেয় ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 1000 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে

ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গড় 11 সে.মি এবং ক্ষেত্রফল 121 বর্গ সে.মি.

ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল = (2$\times$11) সে.মি. = 22 সে.মি.

আমরা জানি,

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$$\times$ (ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) $\times$ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)

বা, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব = 2 $\times$ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল / সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল

                                                                 = $\frac{2\times 121}{22}$ সে.মি.

                                                                = 11 সে.মি

নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব 11 সে.মি.।

মনে করি, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 18 সে.মি. ও b = 14 সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব h = 8 সে.মি.।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল$=\frac{1}{2}\left(a+b\right)h$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left(18+14\right)\times 8$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{1}{2}\times 32\times 8$ বর্গ সে.মি.

$=128$ বর্গ সে.মি

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 128 বর্গ সে.মি.।

যে বহুভুজের প্রত্যেকটি বায়ুর দৈর্ঘ্য সমান এবং কোণগুলো সমান তাকে সুষম বহুভুজ বলে। n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করলে সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল=n $\times$ একটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

চিত্রে, ABCDEF……. একটি সুষম বহুভুজ, যার কেন্দ্র O বাহু n সংখ্যক এবং প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a। সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ= 20; যেখানে $\theta =\angle OAB$

$\therefore$সুষম বহুভুজের n সংখ্যক শীর্ষ কোণের সমষ্টি = 20 n

সুষম বহুভুজের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ= 4 সমকোণ।

$\therefore$কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ও শীর্ষ কোণের সমষ্টি 20n + 4 সমকোণ।

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি. এবং বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি,

n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{n{a}^2}{4}cot \frac{180°}{n}$

সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{5\times 8}{4}cot \frac{180°}{5}$বর্গ সে.মি.

$= 80 cot 36°$

$= 80 \times 1.376$ (ক্যালকুলেটরের সাহায্যে)

$= 110.08$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল 110.08 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 6 সে.মি. এবং বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{n{a}^2}{4}cot\frac{180°}{n}$

সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{5 \times 6^2}{4}cot\frac{180°}{5}$বর্গ সে.মি.

= 45 cot 36° বর্গ সে.মি.

= 45 $\times$ 1.376 বর্গ সে.মি. [ক্যালকুলেটরের সাহায্যে]

= 61.92 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 61.92 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, = 5 সে.মি. এবং বাহুর সংখ্যা, = 6

আমরা জানি,

n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{n{a}^2}{4}cot\frac{180°}{n}$

সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{6\times 5^2}{4} cot \frac{180°}{6}$বর্গ সে.মি.

= 37.5 $\times$ cot 30° বর্গ সে.মি.

= 37.5 $\times \sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.

= 64.95 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল 64.95 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টিস্ট = 1080°

আমরা জানি, n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃশ

কোণের সমষ্টি = (n-2) 180°

বা, 1080° = (n - 2)  180°

বা, $n - 2 =\left(\frac{1080°}{180°}\right)$

বা, n - 2 = 6

বা, n = 6 + 2

$\therefore$ n = 8

বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা 8.

মনে করি,

সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি, n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{n{a}^2}{4}cot\frac{180}{n}$

$=\frac{5\times a^2}{4} cot\frac{180°}{5}$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{5a^2}{4}cot 36°$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{5a^2}{4}\times 1.376$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,

$\frac{5a^2}{4}\times 1.376=30$

বা, $5a^2\times 1.376=30 \times 4$

বা, $a^2=\frac{30\times 4}{5\times 1.376}=17.4419$

বা, $a =\sqrt{17.4419}$

$\therefore$ a = 4.18 (প্রায়)

নির্ণেয় পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4.18 সে.মি. (প্রায়)।

সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n = 6

আমরা জানি,

বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) 180°

= (6 - 2) $\times$ 180°

= 4 $\times$ 180° = 720°

ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 720°

ধরি, সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক এবং বাহুর সংখ্যা n = 6 ।

সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল  $=\frac{n\times a^2}{4}cot \frac{180°}{n}$

প্রশ্নমতে,

$\frac{n\times a^2}{4} cot \frac{180°}{n}=18 \sqrt{3}$

বা, $6\times \frac{a^2}{4} \times cot \frac{180°}{6}=18\sqrt{3}$

বা, $a^2\times cot 30°=\frac{4\times 18\sqrt{3}}{6}$

বা, $a^2\times \sqrt{3}=12\sqrt{3}$

$\therefore$ $a = 2\sqrt{3}$

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য $2\sqrt{3}$ একক।