কার্ল

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পদার্থবিদ্যা - পদার্থবিজ্ঞান – ১ম পত্র | NCTB BOOK

2.7k

Summary

বিভিন্ন স্থানীয় বিন্দুতে যদি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{V}$ (x, y, z) অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে এর কার্ল (curl $\vec{V}$ ) হচ্ছে একটি ভেক্টর রাশি। এর দিক ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।

যদি কার্ল শূন্য হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। এর মানে হচ্ছে, ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল। অন্যদিকে, যদি কার্ল শূন্যের সমান না হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল এবং অসংরক্ষণশীল বলে গণ্য হয়।

রৈখিক বেগ $\vec{v}$ এর কার্ল কৌণিক বেগ $\vec{ω}$ এর দ্বিগুণ।

যেকোনো ভেক্টরের কার্লের মান ঐ ভেক্টরের ক্ষেত্রে একক ক্ষেত্রফলের উপর সর্বোচ্চ রেখা যোগজের সমান এবং এর ডাইভারজেন্স শূন্য।

যদি কোনো স্থানের একটি এলাকায় প্রতিটি বিন্দুতে $\vec{V}$ (x, y, z) = $\hat{i} V_{x} + \hat{j} V_{y} + \hat{k} V_{z}$ কে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় অর্থাৎ $\vec{V}$ যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষক হয়, তাহলে $\vec{V}$ এর কার্ল

(curl $\vec{V}$ ) বা $\vec{△} \times \vec{V}$ এর সংজ্ঞা হলো :

$\vec{△} \times \vec{V} = (\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} - \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}) \times (\hat{i} V_{x} + \hat{i} V_{y} + \hat{i} V_{z}) \vec{△} \times \vec{V} = |\frac{\overset{\hat{i}}{\partial}}{\underset{V_{x}}{\partial}} \frac{\overset{\hat{j}}{\partial}}{\underset{V_{y}}{\partial}} \frac{\overset{\hat{k}}{\partial}}{\underset{V_{z}}{\partial}}| = (\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial V_{x}}{\partial z} - \frac{\partial V_{z}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial V_{y}}{\partial x} - \frac{\partial V_{x}}{\partial y}) \hat{k} . .$ ... (2.33)

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। এ ভেক্টরটির দিক ঐ ক্ষেত্রের উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর। এটি ঐ ক্ষেত্রের ঘূর্ণন ব্যাখ্যা করে। কোনো বিন্দুর চারদিকে ভেক্টরটি কতবার ঘোরে কার্ল তা নির্দেশ করে। যদি কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হয় তবে এটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) হবে। অর্থাৎ $\vec{△} \times \vec{V}$ = $\vec{0}$ হলে $\vec{V}$ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল এবং সংরক্ষণশীল আর $\vec{△} \times \vec{V}$ = $\vec{0}$ হলে $\vec{V}$ ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল এবং অসংরক্ষণশীল । রৈখিক বেগ $\vec{v}$ এর কার্ল কৌণিক বেগ $\vec{ω}$ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ $\vec{△} \times \vec{v}$ = 2 $\vec{ω}$ । কোনো ভেক্টরের কার্লের মান ঐ ভেক্টরের ক্ষেত্রে একক ক্ষেত্রফলের উপর সর্বোচ্চ রেখা যোগজের সমান। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য অর্থাৎ ( $\vec{△} \times \vec{V}$ )= 0 l