গুণিতক

নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করি এবং কোন সংখ্যা বসবে তা আলোচনা করি।

৩ কে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে সংখ্যাগুলো পাওয়া যায় সেগুলো হলো ৩ এর গুণিতক।

৩ এর গুণিতকগুলো ৩ দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না।

(১) নিচের ১ম সংখ্যার সারি থেকে ৪ এর গুণিতকগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

(২) নিচের ২য় সংখ্যার সারি থেকে ৬ এর গুণিতকগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

৪ এর গুণিতক

৬ এর গুণিতক

নিচের সংখ্যাগুলোর ১০টি করে গুণিতক লেখ:

(১) ৫

(২) ৭

(৩) ৮

(৪) ৯

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (লসাগু)

আমরা কিছু বিশ্বকোষ এবং অভিধান আলাদা আলাদাভাবে একটার উপর একটা স্তূপাকারে সাজাই। প্রতিটি বিশ্বকোষ ৪ সেমি এবং প্রতিটি অভিধান ৩ সেমি পুরু। কত সেমি উচ্চতায় বইগুলোর উচ্চতা সমান হবে?

নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করি এবং বিশ্বকোষ ও অভিধান উভয়ের জন্য সংশ্লিষ্ট নম্বর বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

১২, ২৪, সংখ্যাগুলো ৩ এবং ৪ উভয়ের ... গুণিতকের মধ্যে আছে এবং এদেরকে '৩ ও ৪' এর সাধারণ গুণিতক বলে। সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাকে 'লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক' বা লসাগু বলে। ৩ এবং ৪ এর লসাগু হলো ১২।

আগের পৃষ্ঠার সংখ্যার সারির দিকে তাকাই এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিই।

(১) ৪ এবং ৫ এর ৩টি সাধারণ গুণিতক লিখি 

(২) ৪ এবং ৫ এর লসাগু লিখি

৩০ পর্যন্ত ২ এবং ৩ এর গুণিতকগুলো লেখ:

(১) ২ এবং ৩ এর ৫টি সাধারণ গুণিতক নির্ণয় কর 

(২) ২ এবং ৩ এর লসাগু নির্ণয় কর

২ এর গুণিতক :

৩ এর গুণিতক:

লসাগু নির্ণয় কর :

(১) ৪ এবং ৫

(২) ৬ এবং ৯

(৩) ৩ এবং ৬

সাধারণ গুণিতক এবং লসাগু এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

▶ সাধারণ গুণিতকগুলো লসাগু এর _________। 

৪, ৬ এবং ৯ এর লসাগু কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা আলোচনা করি।

 লসাগু নির্ণয় কর :

(১) ২,৩,৪

(২) ৩,৪,৫

(৩) ২,৪,৮

লসাগু এর ব্যবহার

কিছু টাইলস আছে যার প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি এবং প্রস্থ ৬ সেমি। আমরা টাইলসগুলো মেঝেতে বসিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র বানাতে চাই। সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

আমরা টাইলসগুলো যখন বসাই তখন দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ কীভাবে পরিবর্তন হয় তা পর্যবেক্ষণ করি।

$\to$ সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য  _________ সেমি

উপরের প্রশ্নে-

(১) সবচেয়ে ছোট বর্গক্ষেত্র বানানোর জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন? 

(২) আকারের দিক থেকে দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্র বানানোর জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন?

২টি ঘণ্টা আছে। একটি ১২ মিনিট পরপর এবং অপরটি ৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি ঘণ্টা ২টি একসাথে বিকাল ৩ টার সময় বাজে, পরবর্তীতে কখন পুনরায় একসাথে বাজবে?

 একটি বাস স্টেশন থেকে ক কোম্পানির বাস ১৫ মিনিট পরপর এবং খ কোম্পানির বাস ২৫ মিনিট পরপর ছাড়ে। যদি সকাল ৮:৪৫ এ দুইটি কোম্পানির বাস একসাথে ছাড়ে, পরবর্তীতে কখন পুনরায় একসাথে ছাড়বে?

গুণনীয়ক

নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করি এবং কোন সংখ্যা বসবে তা আলোচনা করি।

যে সকল সংখ্যা দ্বারা ৮ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকেনা সেগুলো হলো ৮ এর গুণনীয়ক।

৮ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৪ এবং ৮।

কোনো সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবসময় ১ এবং ওই সংখ্যা থাকে।

নিচের টেবিলে গুণনীয়কগুলো বৃত্তাকারে চিহ্নিত করি।

গুণনীয়কগুলো লেখ :

(১) ৭ 

(২) ১৫ 

(৩) ১৮

(৪) ২৩ 

(৫) ৩৬ 

(৬) ৩৯

(৭) ৪২ 

(৮) ৪৭ 

(৯) ৫৬

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গসাগু)

নিচের ছকে খালি ঘরগুলো পূরণ করি এবং এমন সংখ্যা বের করি যা দ্বারা আপেল ও কলার সংখ্যাকে ভাগ করা যায়।

১, ২ এবং ৪ দ্বারা ১২ এবং ৮ কে ভাগ করা যায়, তাই এগুলো হলো ১২ এবং ৮ এর সাধারণ গুণনীয়ক। সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে 'গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক' বা গসাগু বলে। ১২ এবং ৮ এর গসাগু হলো ৪।

 নিচের ছকটি ব্যবহার করে ১৮ এবং ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো এবং গসাগু নির্ণয় করি।

সাধারণ গুণনীয়ক এবং গসাগু নির্ণয় কর:

(১) ১২ এবং ১৫

(২) ১৮ এবং ৪৫

(৩) ২৮ এবং ৫৬

(৪) ৩৬ এবং ৪৮

(৫) ৫৪ এবং ৩২

(৬) ৫২ এবং ৩৯

১৫ এবং ১৬ এর গসাগু নির্ণয় করি।

সাধারণ গুণনীয়ক এবং গসাগু এর মধ্যে আমরা কী সম্পর্ক দেখতে পাই?

$\to$ সাধারণ গুণনীয়কগুলো গসাগু এর _________।

৪০, ২৪ এবং ৫৬ এর গসাগু কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করি।

গসাগু নির্ণয় কর :

(১) ১২, ৩৩, ২৪

(২) ৩৯, ২৬, ৫২

(৩) ১২, ২৪, ৩৬

গসাগু এর ব্যবহার

 ১২ সেমি প্রস্থ এবং ১৮ সেমি দৈর্ঘ্যের একটি ছক কাগজ আছে। আমরা কাগজটিকে কয়েকটি সমান বর্গাকৃতির টুকরা করি যেন কোনো অবশিষ্ট অংশ না থাকে। সবচেয়ে বড় বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

উপরের ছক কাগজ থেকে বৃহত্তম আকৃতির কয়টি বর্গ বানানো যাবে?

একজন শিক্ষক ৪০ জন ছাত্র এবং ২৪ জন ছাত্রীকে কতগুলো দলে ভাগ করে দিলেন যেন প্রত্যেক দলে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা সমান থাকে এবং কোনো শিক্ষার্থী অবশিষ্ট না থাকে। সর্বোচ্চ কয়টি দলে ভাগ করা যাবে এবং প্রতি দলে কতজন ছাত্র এবং ছাত্রী থাকবে তা নির্ণয় কর।

একজন শিক্ষক ৬০টি পেন্সিল এবং ৩৬টি খাতা কিছু শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো অবশিষ্ট না রেখে সমান ভাগে ভাগ করে দিতে চান। সর্বোচ্চ কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে এই দ্রব্যগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ

কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক যদি ১ এবং ওই সংখ্যা (শুধু দুইটি) হয়, তাহলে সংখ্যাটিকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা।

নিচের কোন সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয়? কেন?

8 ৯ ২১ ৩৩ ৩৭ ৪৩ ৪৯ ৫৭ ৫৯ ৬৩ ৬৭

যদি কোনো সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা না হয়, তাহলে সংখ্যাটি হবে একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল। উদাহরণস্বরূপ,

এই পদ্ধতিকে বলা হয় মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ। প্রত্যেকটি গুণনীয়ককে বলা হয় মৌলিক উৎপাদক।

নিচের সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করি।

(১) ১২ 

(২) ২৪ 

(৩) ৩৫ 

(৪) ৪৫ 

(৫) ২৬

৩০ এবং ৪৫ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি।

১৫ এবং ১৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি।

যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে তাহলে তাদের লসাগু হবে দুইটি সংখ্যার ______ ।

১৮, ১২ এবং ১৪ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি।

লসাগু নির্ণয় কর :

(১) ৪,৬

(২) ৮, ১০ 

(৩) ৩, ৫

(৪) ১২, ১৫ 

(৫) ২৪, ৩৬ 

(৬) ৩৫, ৩২

(৭) ১২, ৮, ১০ 

(৮) ৬, ৯, ১২ 

(৯) ১৪, ২১, ১৮

(১০) ১৬, ২৪, ১৫, ২৮

(১১) ৭, ১০, ১২, ১৪

৩০ এবং ৪৫ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি।

১৫ এবং ১৬ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি।

যদি সংখ্যাগুলোর কোনো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে, তাহলে তাদের গসাগু হবে _________।

৫৬, ২৮ এবং ৪২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি।

গসাগু নির্ণয় কর :

(১) ৮,৬ 

(২) ১২, ১০ 

(৩) ৯, ১৬

(৪) ৩২, ২৪ 

(৫) ৩৬, ৪৫ 

(৬) ১০৫, ১৪০

(৭) ১৮, ৩০, ২৪ 

(৮) ৩২, ৬৪, ৪০ 

(৯) ৩৫, ২১, ২৮

(১০) ৩৯, ২৬, ৫২, ২৪

(১১) ২৫, ২৬, ২৭, ৩০

১. লসাগু নির্ণয় কর:

(১) ১৫, ২১ 

(২) ৩৫, ২১ 

(৩) ২০, ১২, ২৫ 

(৪) ৯, ১৬, ১৮ 

(৫) ২০, ১২, ২৫, ৩২

২. গসাগু নির্ণয় কর :

(১) ১২, ১৮ 

(২) ২৪, ২৮ 

(৩) ৩৯, ৫২ 

(৪) ৫৪, ৩৬, ৭২ 

(৫) ২০, ৩০, ৩৬, ৪৫

৩. একটি রাস্তায় কিছু গাছ এবং ল্যাম্পপোস্ট আছে। ২৫ মিটার পরপর গাছ এবং ২০ মিটার পরপর ল্যাম্পপোস্ট আছে। রাস্তার শুরুতে গাছ ও ল্যাম্পপোস্ট একত্রে থাকলে কত মিটার পরপর গাছ এবং ল্যাম্পপোস্ট পুনরায় একসাথে থাকবে?

৪ . তিনটি ভিন্ন রং এর ঘণ্টা আছে। লাল রং এর ঘণ্টা ১৮ মিনিট পরপর, হলুদ রং এর ঘণ্টা ১৫ মিনিট পরপর এবং সবুজ রং এর ঘণ্টা ১২ মিনিট পরপর বাজে। ঘণ্টাগুলো সন্ধ্যা ৬টায় একসাথে বাজলে, পুনরায় কখন একসাথে বাজবে?

৫. ডান পাশে একটি আয়তাকার মেঝের ছবি দেওয়া আছে। কোন খালি জায়গা না রেখে আমরা ঘরের মেঝেতে বর্গাকার কার্পেট বসাতে চাই।

(১) মেঝেতে বিছানো যাবে এমন বর্গাকার কার্পেটের বৃহত্তমটির একবাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

(২) সম্পূর্ণ মেঝে কার্পেট বিছানোর জন্য এরূপ কয়টি কার্পেট লাগবে?

৬. কোনো স্থানে ১০ জনের বেশি শিক্ষার্থী আছে। একজন শিক্ষক ৪২টি কলা, ৮৪টি বিস্কুট এবং ১০৫টি চকলেট কোনো অবশিষ্ট না রেখে শিক্ষার্থীদের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করে দিতে চান। কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে শিক্ষক কলা, বিস্কুট এবং চকলেট ভাগ করে দিতে পারবেন?