On This Page

(x+y)^n দ্বিপদী এর বিস্তৃতি

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - দ্বিপদী বিস্তৃতি | NCTB BOOK

আমরা এ পর্যন্ত ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${(x + y)}^{n}$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${(x + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${(1 + y)}^{n} = 1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + . . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n}$

এখন, ${(x + y)}^{n} = {[x (1 + \frac{y}{x})]}^{n} = x^{n} {(1 + \frac{y}{x})}^{n}$

$∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{3} + . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{n}] ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \frac{y^{2}}{x^{2}} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \frac{y^{3}}{x^{3}} + . . . . . . + \frac{y^{n}}{x^{n}}] [∵ (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1] = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{2}}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{3}}{x^{3}}) + . . . . . . + x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{n}} {(x + y)}^{n} = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${(x + y)}^{5}$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${(3 + 2 x)}^{5}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

${(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + \frac{5.4}{1.2} x^{3} y^{2} + \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} y^{3} + \frac{5.4.3.1}{1.2.3.4} x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি ${(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

এখন $x = 3$ এবং $y = 2 x$ বসাই

${(3 + 2 x)}^{5} = 3^{5} + 5 . 3^{4} (2 x) + 10 . 3^{3} . {(2 x)}^{2} + 10 . 3^{2} {(2 x)}^{3} + 5.3 (2 x) + {(2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5} ∴ {(3 + 2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5}$

উদাহরণ ৪. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $x$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6} = x^{6} + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . . .$
$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$

Content added || updated By

Genius

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2 = 2.1, 6 = 3.2.1, 24 = 4.3.2.1!, 120 = 5.4.3.2.1, . . .$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2 = 2.1 = 2!, 6 = 3.2.1 = 3!, 24 = 4.3.2.1 = 4!, 120 = 5.4.3.2.1 = 5! . . . . .$

এখন লক্ষ করি:
$4! = 4.3.2.1 = 4 . (4 - 1) . (4 - 2) . (4 - 3) 5! = 5.4.3.2.1 = 5 . (5 - 1) . (5 - 2) . (5 - 3) . (5 - 4)$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) . . . . . . . . . . 3 . 2 . 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5.4.3}{1.2.3} = \frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3) . (2.1)} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7.6.5.4}{1.2.3.4} = \frac{7.6.5.4.3.2.1}{(1.2.3.4) . (3.2.1)} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7!}{4! \times (7 - 4)!}$

$∴$ সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} = {}^{n}C_{r}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7!}{4! (7 - 4)!} = {}^{7}C_{4}$ এবং $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = {}^{5}C_{3}$

সুতরাং, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}$ অর্থাৎ, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ ও ${}^{n}C_{r}$ এর মান এক।

আমরা জানি $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = \frac{n!}{n! (n - n)!} = \frac{n!}{n! (0)!} = \frac{1}{0!} ∴ 1 = \frac{1}{0!},$

অর্থাৎ $0! = 1$

মনে রাখতে হবে

$n! = n (n - 1) (n - 2) . . . . . . . . 3.2.1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}, {}^{n}C_{r} = 1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}, (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = {}^{n}C_{0} = 1 (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = 1, 0! = 1$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ কে ${}^{n}C_{r}$ দ্বারা প্রকাশ করব।
${(1 + y)}^{n} = 1 + {}^{n}C_{1} y + {}^{n}C_{2} y^{2} + {}^{n}C_{3} y^{3} + . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + \frac{n (n - 1)}{2!} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} y^{3} + . . . . . . . + y^{n}$

এবং অনুরূপভাবে,
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . + {}^{n}C_{r} x^{n - r} y^{r} + . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . + y^{n}$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) y^{r}$ বা ${}^{n}C_{r} y^{r}$
এখানে, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ।
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$
সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}$ যেখানে $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} + {}^{5}C_{1} x^{5 - 1} (- \frac{1}{x^{2}}) + {}^{5}C_{2} x^{5 - 2} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} + {}^{5}C_{3} x^{5 - 3} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + {}^{5}C_{4} x^{5 - 4} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{4} + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} - 5 x^{4} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{5.4}{1.2} x^{3} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} \frac{1}{x^{6}} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} x \frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{10}} = x^{5} - 5 x^{2} + \frac{10}{x} - \frac{10}{x^{4}} + \frac{5}{x^{7}} - \frac{1}{x^{10}}$