 বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা

short techniques

For all varsity admission exam

keep and share with ur friend

আমাদের কিছু কথা :

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায় প্রায় প্রতি বছর ঢাকা

বিশ্ববিদ্যালয়ে বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা থেকে

একটি করে প্রশ্ন থাকে । এছাড়া জাহাঙ্গীরনগর

বিশ্ববিদ্যালয় , জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় , রাজশাহী

বিশ্ববিদ্যালয় , চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় , শাহজালাল

বিশ্ববিদ্যালয়সহ দেশের বিভিন্ন বিশ্ববিদ্যালয়ে

বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা থেকে প্রতি বছর 2-3 টি

করে প্রশ্ন থাকে । এসব প্রশ্ন অল্প সময়ে

নির্ভুলভাবে সমাধান করার জন্য শর্ট টেকনিক

সমন্বয়ে বিভিন্ন টাইপের Math দেওয়া হল । এই

web portal এ লেকচার সমূহ এমন ভাবে সাজানো

হয়েছে , যাতে বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায়

সম্পূর্ণ সফলতা অর্জন করা যায় । সুতরাং আমাদের

লেকচারের সম্পূর্ণ অংশ এবং বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি

পরীক্ষার বিগত সালের MCQ ও Practice MCQ

অংশের প্রশ্ন সূমহ ভাল ভাবে রপ্ত করলে ,

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায় chance সুনিশ্চিত ।

Hot Topics :

 অসমতার পরমমান চিহ্ন

 অসমতার পরমমান চিহ্ন ব্যাতীত প্রকাশ

 দ্বিঘাত অসমতার সমাধান

 মৌলিক সংখ্যা , সহমৌলিক সংখ্যা চিহ্নিত

 মূলদ সংখ্যা , অমূলদ চিহ্নিত

পরম মানের ধর্ম –

1.a∈Ra∈R এর জন্য |a|≥0a≥0

2.a∈Ra∈R এর জন্য (a) |X| ≤a⇒−a≤X≤a,(b) |a|>|

b|⇒a2>b2a X ≤a⇒-a≤X≤a,b a>b⇒a2>b2

3.a, b∈Ra, b∈R এর জন্য (a), |ab|=|ab|, (b) |abc|

=|a||b||c|(a), ab=ab, b abc=abc

4.a, b∈Ra, b∈R এর জন্য ∣∣ab∣∣=∣∣ab∣∣(b

≠0)ab=ab(b≠0)

5.a, b∈Ra, b∈R এর জন্য(a) |a|+|b|≥|a+b|, (b) |a|

+|b|>|a−b|(a) a+b≥a+b, (b) a+b>a-b

6.a, b∈Ra, b∈R এর জন্য |a|+|b|≤|a−b|a+b≤a-b

মৌলিক সংখ্যা (Prime number) –

যে সংখ্যাকে 1 এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোন

সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

একে P দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন 2,3,5,7 ইত্যাদি

মৌলিক সংখ্যা।

Note:

1 কে মৌলিক সংখ্যা ধরা হয় না।

অমৌলিক সংখ্যা (Composite number) –

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে যে সংখ্যাগুলি মৌলিক নয়

তাদের কে অমৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন 4,6,8

ইত্যাদি।

সহমৌলিক সংখ্যা (Coprime Number) –

দুটি সংখ্যার সাধারন গুণনীয়ক 1 ভিন্ন অন্য কোন

সংখ্যা পাওয়া না গেলে তাদেরকে সহমৌলিক সংখ্যা

বলে। যেমন (3,5), (9,10) এবং (14,17)

প্রত্যেকটি ক্রমজোড়ই।

মূলদ সংখ্যা –

যে সংখ্যা গুলোকে {p/q;p,q Z, q≠0}{p/q;p,q Z,

q≠0} আকারে প্রকাশ করা যায়, তাদের কে মূলদ

সংখ্যা বলে। একে দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অন্য

কথায়, কোন সংখ্যাকে সমাপ্ত দশমিক অথবা, আবৃত

দশমিকে প্রকাশ করা গেলে, তাকে মূলদ সংখ্যা

বলে।

অমূলদ সংখ্যা –

যে সংখ্যা গুলোকে আকারে প্রকাশ করা যায় না,

তাদের কে অমূলদ সংখ্যা বলে অর্থাৎ বাস্তব

সংখ্যা থেকে মূলদ সংখ্যা গুলোকে বাদ দিলে

অমূলদ সংখ্যার সেট পাওয়া যায়।এ জন্য একে দ্বারা

প্রকাশ করা হয়। অন্য কথায়, কোন সংখ্যাকে সমাপ্ত

বা আবৃত দশমিকে প্রকাশ করা না গেলে তাকে

অমূলদ সংখায় বলে।

পূর্ন সংখ্যার সেট – একে Z বা I দ্বারা প্রকাশ করা

হয়। পূর্ন সংখ্যার সেট ২ ভাগে ভাগ করা হয়। ১.

ধনাত্বক পূর্ন সংখ্যার সেট – একে Z+Z+বা I+I+

দ্বারা প্রকাশ করা হয়। [Note - ধনাত্বক পূর্ন সংখ্যার

সেটকে আবার স্বাভাবিক সংখ্যার সেটও বলা হয়।

একে N দ্বারা সূচিত করা হয়।] ২. ঋনাত্বক পূর্ন

সংখ্যার সেট – একে z−z-বা I−I- দ্বারা প্রকাশ করা

হয়।

>Note

[- শূন্য (0) ধনাত্বক এবং ঋনাত্বক সংখ্যার

মধ্যাবস্থানকারী একটি নিরপেক্ষ অংক। শূন্য কে

সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হলে শূন্য একটি

জোড় সংখা।]

উপর্যুক্ত আলোচনা হতে গৃহীত অনুসিদ্ধান্ত –

1. N⊂Z⊂Q⊂RN⊂Z⊂Q⊂R

2. Q∪Q′=RQ∪Q'=R

3. Q∩Q′=∅Q∩Q'=∅

4. Z−∪{0}∪Z+=ZZ-∪{0}∪Z+=Z

মূলদ সংখ্যা চেনার তিনটি উপায় :

1.যে কোন পূর্ন সংখ্যা মূলদ সংখ্যা। যেমন -3, 0,

1, 2 ইত্যাদি

2.কোন সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পরে নিদিষ্ট সংখ্যক

অংক থাকলে তা মূলদ সংখ্যা। যেমন 1.12,

207.45021, 0.10223 ইত্যাদি

3.কোন সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পরের অংশকে

আবৃত দশমিকে প্রকাশ করা গেলেতা মূলদ সংখ্যা।

যেমন 1.333……., 7.705705705…….,

0.102310231023…….. ইত্যাদি

সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস নিম্নে দেওয়া হল –

বিভিন্ন সংখ্যার সেট –

1.সকল বাস্তব সংখ্যার সেট, R = (−∞,∞)(-∞,∞)

2.মূলদ সংখ্যার সেট, Q = {p/q; p , q∈z; q≠0}{p/q;

p , q∈z; q≠0}

3.অমূলদ সংখ্যার সেট, Q′Q' বা Qc= {x: x∈R, x∉Q}

=R−QQc= {x: x∈R, x∉Q}=R-Q

4.সকল পূর্নসংখ্যার সেট, Z বা I ={0,±1,±2,±3,..

...........}{0,±1,±2,±3,.............}

5.সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট,N

বা I+I+ বা Z+Z+ { 1, 2, 3, 4.......}

6.সকল অঋনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট, { 0, 1, 2, 3,

4.........}

7.ঋনাত্বক পূর্নসংখ্যার সেট,Z−=Z-= { −∞,……., −10,

…..−2, −1 }{ -∞,……., -10,…..-2, -1 }

Note

– শূন্য (0) ধনাত্বক এবং ঋনাত্বক সংখ্যার মধ্যে

অবস্থিত একটি নিরপেক্ষ অংক।

R বাস্তব সংখ্যার সেট হলে N⊂Z⊂Q⊂R,Q∪Q

′=R,Q∩Q′=∮N⊂Z⊂Q⊂R,Q∪Q'=R,Q∩Q'=∮ (ফাকা

সেট)

সীমিত সেট –

ধরি, S একটি বাস্তব সংখ্যার সেট। S সেটটি সীমিত

সেট হবে যদি এটি উর্দ্ধসীমিত সেট এবং

নিম্নসীমিত সেট হয়। অর্থাৎ S সেটটি সীমিত

হবে, যদি দুইটি বাস্তব K সংখ্যা এবং K এরূপ হয়।

যেমন K≤x≤K,∀∈SK≤x≤K,∀∈S

Example – S = {1, ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6} সেটটি

সীমিত সেট।

Note

- Z, Q, R সীমিত সেট নয়।

উর্দ্ধসীমা –

যদি S, বাস্তব সংখ্যার সেট R এর একটি উপসেট এবং

সকল x∈Sx∈Sএর জন্য একটি বাস্তব সংখ্যা M

বিদ্যমান থাকে যেন হয় x≤M,x≤M, তবে M কে

S সেটের একটি উর্দ্ধসীমা বলা হয় এবং S

হলো একটি উর্দ্ধসীমিত সেট। Example – S =

(−2,2)⊂R(-2,2)⊂R

এখানে সকল x⊂Sx⊂S x≤2x≤2 সুতরাং S এর একটি

উর্দ্ধসীমা 2।

Note

- উর্দ্ধসীমার চেয়ে বড় সকল সংখ্যাই

সেটের এক একটি উর্দ্ধসীমা।

লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমা বা সুপ্রিমাম –

কোন সেটের উর্দ্ধসীমার মধ্যে

সবচেয়ে ছোট অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ঐ

সেটের সুপ্রিমাম বলা হয়। কোন সেট S এর

সুপ্রিমাম বা লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমাকে Sup S দ্বারা

প্রকাশ করা হয়।Example – S =(−2,2)(-2,2) এর

সুপ্রিমাম বা লঘিষ্ঠ উর্দ্ধসীমা Sup S = 2

নিম্নসীমা –

যদি S বাস্তব সংখ্যার সেট R এর একটি উপসেট এবং

সকল x∈Sx∈S এর জন্য একটি বাস্তব সংখ্যা M

বিদ্যমান থাকে যেন হয়,M≤xM≤x তবে M কে

S সেটের একটি নিম্নসীমা বলা হয় এবং S হলো

একটি নিম্নসীমিত সেট।

Example – S = (−2,2)⊂R(-2,2)⊂R

এখানে সকল x∈Sx∈S এর জন্য −2≤x-2≤x সুতরাং S

এর নিম্নসীমা হলো -2

Note

- নিম্নসীমার চেয়ে ছোট সকল সংখ্যাই ঐ

সেটের এক একটি নিম্নসীমা।

ইনফিমাম বা গরিষ্ঠ নিম্নসীমা –

কোন সেটের নিম্নসীমার গুলির মধ্যে

সবচেয়ে বড় অর্থাৎ বৃহত্তম সংখ্যাকে ঐ

সেটের ইনফিমাম বলা হয়। কোন সেট S এর

ইনফিমাম Inf S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

Example : S (−2,2)(-2,2) এর ইনফিমাম হলো Inf S

= -2

Segment- 1: অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে

প্রকাশ সম্পর্কিত সমস্যা :

প্রদত্ত অসমতাটির প্রান্তীয় সংখ্যা ২টি যোগ করার

পর ২দ্বারা ভাগ করে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা উভই

পক্ষ থেকে বিয়োগ করে সমান সংখ্যা তৈরী

করতে পারলেই পরমমান চিহ্ন দিয়ে লেখা যায়।

Example-01:

-7 < x < -1 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায়

প্রকাশ কর ?

Solution :(-7-1) = -8; (-8/2) = -4;

-7+4 < x +4 < -1+4; -3 < x+4 < 3; |x+4|<3x+4

Ans -

Example-02:

-5 < x < 11 কে পরম মানের সাহায্যে অসমতায়

প্রকাশ কর ?

Solution : (-5+11)/2 = 3

-5-3 < x -3 < 11-3 ; -8 < x -3 < 8 ; |x−3|

<8x-3<8Ans -

Segment- 2: অসমতার সমাধান বা পরমমান চিহ্ন

ব্যাতীত প্রকাশ সম্পর্কিত সমস্যা :

পরমমান চিহ্নের ভিতরের রাশিটি যথাক্রমে

অঋনাত্বক ও ঋনাত্বক বিবেচনা করার পর দুটিকে

সমন্বয় করে লিখতে হয় এবং অজ্ঞাত রাশির মান

বের করতে হয়।

Example-01:

বাস্তব সংখ্যায় |3x−2|≤13x-2≤1 অসমতাটির সমাধান –

Solution :|3x−2|≤1;−1≤3x−2≤1;1≤3x≤3;1/

3≤x≤13x-2≤1;-1≤3x-2≤1;1≤3x≤3;1/3≤x≤1 (Ans)

Example-02

|2−8x|≤62-8x≤6অসমতাটির সমাধান –

Solution : |2−8x|≤6;2-8x≤6;

Or−6≤−8x≤6;-6≤-8x≤6;

Or−6−2≤−8x≤6−2;-6-2≤-8x≤6-2;

Or−8≤−8x≤4;-8≤-8x≤4;

Or1≥x≥−1/2;1≥x≥-1/2;

অর্থাৎ −1/2≤x≤1;-1/2≤x≤1; Ans

Segment- 3: দ্বিঘাত অসমতার সমাধান নির্ণ্য় সম্পর্কিত

সমস্যা

প্রথমে ax2 + bx + c দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে

বিশ্লেষন করে (x-মান1) (x-মান2) কারে

সাজাবে। এর পর অসমতার সম্পর্কানুযায়ী

মানদ্বয়ের সাথে x এর ব্যাবধি বের করবে।

অসমতা < দিয়ে থাকলে মান এবং (∩)(∩) দিয়ে বৈধ

সম্পর্কের মাধ্যমে আসবে। অসমতা > দিয়ে

থাকলে মান অথবা (∪)(∪) দিয়ে অবৈধ সম্পর্কের

মাধ্যমে আসবে।

ছোট মানের চেয়ে বড় এবং বড় মানের

চেয়ে ছোট এরূপ মানের বৈধ সম্পর্ক এবং

ছোট মানের চেয়ে ছোট কিন্তু বড় মানের

চেয়ে বড় এরূপ মানকে অবৈধ সম্পর্ক হিসাবে

বিবেচনা করা

যেমন : 5 < x < 8 একটি বৈধ সম্পর্ক, আবার x > 4

অথবা x < -6 একটি অবৈধ সম্পর্ক

Example-01:

5x – x2x2 – 6 > 0 হলে x এর মান কত?

Solution :5x – x2x2 – 6 > 0

Or x2x2 -5x +6 < 0 ;

Or, (x-3) (x-2) < 0 ;

2 < x < 3 (Ans)

Example-02:

x –x2x2 + 6 < 0 হলে x এর মান কত?

Solution :x – x2x2 + 6 < 0

⇒⇒ x2x2 – x - 6 > 0 ;

⇒⇒(x -3) (x+2) > 0 ;

⇒⇒(x-3) {x- (-2)} > 0

⇒⇒x < -2 or, x > 3 (Ans)