একটি গ্রহের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের দ্বিগুন। উক্ত গ্রহের পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণের চার গুণ। উক্ত গ্রহের মুক্তি বেগ পৃথিবীর তুলনায় কত?

গ্রহের মুক্তি বেগ (Escape velocity) হলো সর্বনিম্ন সেই বেগ, যা কোনো বস্তু পৃষ্ঠ থেকে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি গ্রহের মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে অনন্তের দিকে চলে যেতে পারে এবং আর ফিরে আসে না। মুক্তি বেগের সূত্র হলো:

\[V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

অথবা, অভিকর্ষজ ত্বরণ (gravitational acceleration) \(g = \frac{GM}{R^2}\) ব্যবহার করে, আমরা লিখতে পারি:

\[GM = gR^2 \]

এই মানটি মুক্তি বেগের সূত্রে বসালে পাই:

\[V_e = \sqrt{\frac{2(gR^2)}{R}} = \sqrt{2gR} \]

এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী প্রদত্ত তথ্যগুলো দেখি:

    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ = \(R_e\)
    
• পৃথিবীর পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণ = \(g_e\)
    
• পৃথিবীর মুক্তি বেগ = \(V_e = \sqrt{2g_eR_e}\)

গ্রহটির জন্য:

    
• গ্রহের ব্যাসার্ধ, \(R_p = 2R_e\) (পৃথিবীর ব্যাসার্ধের দ্বিগুন)
    
• গ্রহের পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g_p = 4g_e\) (পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণের চার গুণ)

গ্রহটির মুক্তি বেগ, \(V_p\), হবে:

\[V_p = \sqrt{2g_pR_p} \]

এখন \(g_p\) এবং \(R_p\) এর মান বসিয়ে পাই:

\[V_p = \sqrt{2(4g_e)(2R_e)} \]

\[V_p = \sqrt{2 \times 4 \times 2 \times g_eR_e} \]

\[V_p = \sqrt{16 \times g_eR_e} \]

\[V_p = \sqrt{8 \times (2g_eR_e)} \]

আমরা জানি, \(V_e = \sqrt{2g_eR_e}\)। এই মানটি বসিয়ে পাই:

\[V_p = \sqrt{8} \times \sqrt{2g_eR_e} \]

\[V_p = \sqrt{8} V_e \]

সুতরাং, উক্ত গ্রহের মুক্তি বেগ পৃথিবীর মুক্তি বেগের \(\sqrt{8}\) গুণ।