একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

  বিস্তারিত সমাধান:

  যখন একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তখন এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করা হয়। এটি যেকোনো সাধারণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রযোজ্য।

  ধরি, ত্রিভুজের বাহুত্রয় \(a\), \(b\) এবং \(c\)।   এখানে, \(a = 13\) মিটার, \(b = 14\) মিটার এবং \(c = 15\) মিটার।

  প্রথম ধাপে, ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (semi-perimeter), \(s\) নির্ণয় করতে হবে। অর্ধ-পরিসীমা হলো ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক।   অর্ধ-পরিসীমার সূত্র হলো:   \(s = \frac{a+b+c}{2}\)

  প্রদত্ত বাহুর মান বসিয়ে পাই:   \(s = \frac{13+14+15}{2}\)   \(s = \frac{42}{2}\)   \(s = 21\) মিটার

  দ্বিতীয় ধাপে, হেরনের সূত্র ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(A\) নির্ণয় করি। হেরনের সূত্রটি হলো:   \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

  মান বসিয়ে পাই:   \(A = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\)   \(A = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)

  এবার গুণফলকে সরল করার জন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:   \(A = \sqrt{(3 \times 7) \times (2 \times 2 \times 2) \times 7 \times (2 \times 3)}\)   একই উৎপাদকগুলো একত্রিত করে পাই:   \(A = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}\)

  বর্গমূল করে পাই:   \(A = 2^2 \times 3 \times 7\)   \(A = 4 \times 3 \times 7\)   \(A = 12 \times 7\)   \(A = 84\)

  সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো \(84\) বর্গমিটার।

  
  💡 শর্টকাট টেকনিক:

  যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (13, 14, 15) দেওয়া থাকলে হেরনের সূত্রই সবচেয়ে সরাসরি এবং নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি। এটি কোনো বিশেষ ধরনের ত্রিভুজ (যেমন সমকোণী বা সমবাহু) না হওয়ায় অন্য কোনো সহজ জ্যামিতিক সূত্র সরাসরি প্রয়োগ করা যায় না। তাই, হেরনের সূত্রটিই এক্ষেত্রে সবচেয়ে কার্যকর 'শর্টকাট' হিসেবে বিবেচিত হয়, কারণ এটি সরাসরি ফলাফল প্রদান করে। তবে, দ্রুত হিসাব করার জন্য গুণফলগুলোর উৎপাদক বিশ্লেষণ করে বর্গমূল নির্ণয় করতে পারলে সময় বাঁচানো সম্ভব।

  উদাহরণস্বরূপ, \(21 \times 8 \times 7 \times 6\) কে \( (3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3) \) হিসেবে লিখে \( 2^4 \times 3^2 \times 7^2 \) তে রূপান্তর করে সহজেই \( 2^2 \times 3 \times 7 = 84 \) নির্ণয় করা যায়। এটি গণনার সময় বাঁচায়।