একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে তার অন্তব্যাসার্ধ কত?

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যদি \(a, b, c\) হয়, তাহলে তার অন্তব্যাসার্ধ (inradius) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা (semi-perimeter) এবং ক্ষেত্রফল (area) বের করতে হয়।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(a = 13\) একক, \(b = 14\) একক এবং \(c = 15\) একক।

১. প্রথমে ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা (\(s\)) নির্ণয় করি:

\(s = \frac{a+b+c}{2}\)

\(s = \frac{13+14+15}{2}\)

\(s = \frac{42}{2}\)

\(s = 21\) একক

২. এরপর হেরনের সূত্র (Heron's formula) ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (\(\Delta\)) নির্ণয় করি:

\(\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(\Delta = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\)

\(\Delta = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)

\(\Delta = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}\)

\(\Delta = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}\)

\(\Delta = 2^2 \times 3 \times 7\)

\(\Delta = 4 \times 3 \times 7\)

\(\Delta = 84\) বর্গ একক

৩. সবশেষে, ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ (\(r\)) নির্ণয় করি। অন্তব্যাসার্ধের সূত্র হলো:

\(r = \frac{\Delta}{s}\)

\(r = \frac{84}{21}\)

\(r = 4\) একক

অতএব, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ 4 একক।