একটি বর্গক্ষেত্রের দুটি বিপরীত শীর্ষে চার্জ স্থাপন করা হয়। অপর দুটি শীর্ষে q চার্জ স্থাপন করা হয়। Q চার্জের যে কোনোটির উপর যদি লব্ধি বৈদ্যুতিক বল শূন্য হয়, তাহলে Q/q এর মান কত? (Charge Q is placed at each of the two opposite corners of a square. Charge q is placed at each of the other two corners. If the net electrical force on either of the Q charges is zero, what is the value of
Q/q?)

ধরা যাক, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\)।

বর্গক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দুতে চার্জ বসানো হয়েছে। প্রশ্নানুসারে, দুটি বিপরীত শীর্ষে \(Q\) চার্জ এবং অন্য দুটি শীর্ষে \(q\) চার্জ স্থাপন করা হয়েছে।

আমরা একটি \(Q\) চার্জের উপর মোট বল গণনা করব। ধরা যাক, \(Q\) চার্জটি মূলবিন্দুতে \((0,0)\) অবস্থিত।

তাহলে, চার্জগুলোর অবস্থান হবে নিম্নরূপ:

    
• একটি \(Q\) চার্জ \((0,0)\) বিন্দুতে (ধরা যাক A)।
    
• অন্য \(Q\) চার্জটি বিপরীত শীর্ষে \((a,a)\) বিন্দুতে (ধরা যাক C)।
    
• \(q\) চার্জ দুটি অন্য দুটি শীর্ষে \((a,0)\) (ধরা যাক B) এবং \((0,a)\) (ধরা যাক D) বিন্দুতে অবস্থিত।

আমরা \((0,0)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(Q\) চার্জের উপর লব্ধি বল নির্ণয় করব।

১. \((a,0)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(q\) চার্জের কারণে \((0,0)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(Q\) চার্জের উপর বল (\(\vec{F}_{QB}\)):

দূরত্ব \(r_1 = a\)

বলের মান \(F_1 = k \frac{Q q}{a^2}\)

যেহেতু লব্ধি বল শূন্য হতে হবে, তাই \(Q\) এবং \(q\) চার্জ অবশ্যই বিপরীতধর্মী হতে হবে (অর্থাৎ, একটি ধনাত্মক ও অন্যটি ঋণাত্মক)। যদি তারা একই ধর্মী হয়, তাহলে সবগুলো বলের উপাদান একই দিকে হবে এবং লব্ধি বল কখনো শূন্য হবে না।

যদি \(Q\) ও \(q\) বিপরীতধর্মী হয়, তাহলে বলটি আকর্ষণীয় হবে। অর্থাৎ, \((0,0)\) থেকে \((a,0)\) বিন্দুর দিকে, যা ধনাত্মক \(x\)-অক্ষ বরাবর।

\(\vec{F}_1 = k \frac{|Q||q|}{a^2} \hat{i}\)

২. \((0,a)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(q\) চার্জের কারণে \((0,0)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(Q\) চার্জের উপর বল (\(\vec{F}_{QD}\)):

দূরত্ব \(r_2 = a\)

বলের মান \(F_2 = k \frac{Q q}{a^2}\)

\(Q\) ও \(q\) বিপরীতধর্মী হওয়ায় বলটি আকর্ষণীয় হবে। অর্থাৎ, \((0,0)\) থেকে \((0,a)\) বিন্দুর দিকে, যা ধনাত্মক \(y\)-অক্ষ বরাবর।

\(\vec{F}_2 = k \frac{|Q||q|}{a^2} \hat{j}\)

৩. \((a,a)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(Q\) চার্জের কারণে \((0,0)\) বিন্দুতে অবস্থিত \(Q\) চার্জের উপর বল (\(\vec{F}_{QC}\)):

দূরত্ব \(r_3 = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}\)

বলের মান \(F_3 = k \frac{Q Q}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{Q^2}{2a^2}\)

\(Q\) ও \(Q\) একই ধর্মী হওয়ায় বলটি বিকর্ষণীয় হবে। অর্থাৎ, \((0,0)\) বিন্দু থেকে \((a,a)\) বিন্দুর বিপরীত দিকে, যা \((-x, -y)\) বরাবর। এই দিকটি \(225^\circ\) কোণে অবস্থিত বা ঋণাত্মক \(x\) ও ঋণাত্মক \(y\) অক্ষের দিকে \(45^\circ\) কোণে।

\(\vec{F}_3 = F_3 (-\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j}) = k \frac{Q^2}{2a^2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})\)

\(\vec{F}_3 = -\frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2} \hat{i} - \frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2} \hat{j}\)

মোট লব্ধি বল (\(\vec{F}_{net}\)):

\(\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\)

\(\vec{F}_{net} = \left( k \frac{|Q||q|}{a^2} - \frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2} \right)\hat{i} + \left( k \frac{|Q||q|}{a^2} - \frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2} \right)\hat{j}\)

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি বল শূন্য \(( \vec{F}_{net} = 0)\)। এর জন্য \(x\) ও \(y\) উভয় উপাংশ শূন্য হতে হবে।

\(k \frac{|Q||q|}{a^2} - \frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2} = 0\)

\(k \frac{|Q||q|}{a^2} = \frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2}\)

\(k\) এবং \(a^2\) উভয় পক্ষ থেকে বাদ দিয়ে, এবং \(Q\) (ধরা যাক \(Q \neq 0\)) দ্বারা ভাগ করে:

\(|q| = \frac{Q}{2\sqrt{2}}\)

আমাদের \(Q/q\) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি \(Q\) এবং \(q\) বিপরীতধর্মী। তাই, \(q = -|q|\)।

তাহলে, \(|q| = -q\)।

সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(-q = \frac{Q}{2\sqrt{2}}\)

\(\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}\)

এখন প্রদত্ত বিকল্পগুলো যাচাই করা যাক:

    

1. -1

    

2. 1

    

3. \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

    

4. \(\frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\)

আমাদের নির্ণীত মান \(-2\sqrt{2}\) কোনো বিকল্পের সাথে হুবহু মিলে না। সবচেয়ে কাছাকাছি মনে হতে পারে \(\frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\) কিন্তু এটি \(-2\sqrt{2}\) এর সমান নয়। অতএব, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।