একটি রাবার ব্যান্ডকে টেনে এর দৈর্ঘ্য x পরিমাণ বৃদ্ধি করলে, রবার ব্যান্ডে সৃষ্ট প্রত্যাবর্তী বল হলো $F=ax+b{x}^2$ (এখানে a এবং b ধ্রুবক)। রবার ব্যান্ডটিকে x = 0 থেকে x = L পর্যন্ত বৃদ্ধি করতে কৃত কাজের মান কত?

৬.৫ অনুচ্ছেদে অভিকর্ষীয় কাজ আলোচনা করার সময় বল₁ অপরিবর্তনশীল ধরা হয়েছে। স্বল্প উচ্চতায় বলের পরিবর্তন খুবই নগণ্য। কিন্তু পৃথিবী পৃষ্ঠের বেশ উপরের দিকে কিংবা নিচের দিকে অভিকর্ষীয় বলের মান কমতে থাকে। সেক্ষেত্রে বা ধ্রুব ধরা যায় না। বল একটি ভেক্টর রাশি; সুতরাং এর দিক ও মান উভয়ই আছে। প্রথমে বলে মান পরিবর্তনশীল বিবেচনা করে আমরা নিম্নে কৃত কাজের সমীকরণ বের করব।

(ক) বলের মান যখন পরিবর্তনশীল : ধরি কোন একটি পরিবর্তনশীল বল  $\overrightarrow{F}$ ঐ বস্তুর উপর X-অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করায় বস্তুটি X-অক্ষ বরাবর X₁ অবস্থান থেকে X₂ অবস্থানে সরে গেল এবং বলটি মানের সাপেক্ষে পরিবর্তী। এই পরিবর্তী বল দ্বারা বস্তুটির সরণ (x₂ – x₁) ঘটাতে সম্পাদিত কাজ নিম্নোক্ত উপায়ে বের করতে পারি ।

 এখন মোট সরণ (X₂ - X₁ ) কে বহুসংখ্যক অতি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র সমমানের সরণ $∆$x-এ বিভক্ত করা হল [চিত্র ৬.৩ (ক)]।

ফলে প্রতিটি ক্ষুদ্র সরণের শুরুতে বস্তুর উপর যে বল ক্রিয়া করে ঐ বলের ক্রিয়াতেই ঐ Trip সংঘটিত হয়েছে বিবেচনা করা যায়। প্রতিটি ক্ষুদ্র অংশে ক্রিয়ারত বল ভিন্ন ভিন্ন মানের। সুতরাং x₁, অবস্থান থেকে x₂ + $∆$x পর্যন্ত ক্ষুদ্র সরণের ক্ষেত্রে F₁ বল ক্রিয়াশীল হলে কৃত কাজ,

$∆$W₁ = F₁ $∆$x

অনুরূপভাবে x₁ + $∆$x থেকে x₁ +2$∆$ x পর্যন্ত সরণ $∆$x-এর ক্ষেত্রে F₂ বল ক্রিয়াশীল হলে কৃত কাজ,

$∆$W₂ = F₂ $∆$x

মোট সরণ (x₂ – x^₁ ) কে যদি এরূপ N সমসংখ্যক ক্ষুদ্র সরণ $∆$x-এ বিভক্ত করা হয় তবে মোট কাজ হবে এই ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশের সরণের জন্য কাজের সমষ্টির সমান।

কৃত কাজ, W = $∆$W₁+ W₂ + W₃ +……+ $∆$W_n

লক্ষণীয় যে প্রতিটি ক্ষুদ্র অংশ $∆$x-এ বলের মান ধ্রুব ধরা হয়েছে। কিন্তু এটা সম্পূর্ণ সঠিক নয়। ঐ প্রতিটি ক্ষুদ্র অংশকে যদি আরও ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে ভাগ করি।[ চিত্র ৬.৩ (খ)] এবং নব ক্ষুদ্র অংশের জন্য বল ধ্রুব ধরি, তবে কৃত কাজের মান আরও সঠিক হবে। এভাবে ক্ষুদ্র অংশ আরও ক্ষুদ্র অর্থাৎ $∆$x যদি প্রায় শূন্যের কাছাকাছি হয় এবং বিভক্ত অংশের সংখ্যা N-কে অসীম করা হয়। তবে সঠিক মান পাওয়া যাবে। অতএব, কাজের সঠিক মান লেখা যায় ।

ক্যালকুলাসের ভাষায়,

(খ) বলের মান ও দিক উভয়ই যখন পরিবর্তনশীল : বল মানে ও অভিমূখে পরিবর্তনশীল হলে ঐ বলের ক্রিয়ায় বস্তু একটি রেখায় গতিশীল হতে পারে। বস্তুটির গতি দ্বিমাত্রিক বা ত্রিমাত্রিক। এ ক্ষেত্রে রেখাটির কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক দ্বারা ঐ বিন্দুতে বস্তুর গতি অভিমুখ নির্দিষ্ট হবে। এক্ষেত্রে সরণ = r । 

কাজেই এই প্রকার বলের কৃত কাজ নির্ণয়ে সমগ্র গতিপথকে অতি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র সরণ  $d\overrightarrow{r}$ -এর সমষ্টি হিসেবে গণ্য করা যায়।

প্রত্যেক ক্ষুদ্র সরণের শুরুতে বস্তুর উপর যে বল F ক্লিয়ারত থাকে ঐ বল উক্ত সরণের জন্য অপরিবর্তী -> বিবেচনা করা যায়। ধরি কোন একটি ক্ষুদ্র সরণ  $d\overrightarrow{r}$ এবং ঐ সরণের জন্য ক্রিয়ারত বল $\overrightarrow{F}$ -এর মধ্যবর্তী কোণ ও বলটিকে  $d\overrightarrow{r}$  বরাবর একটি অংশে এবং তার লম্ব দিকে অপর একটি অংশে বিভক্ত করি। ধরি অংশক দুটি যথাক্রমে-

F_r = Fs cos$\theta$ এবং F_n = F sin$\theta$

এই ক্ষুদ্র সরণের জন্য বলের F_n অংশক কর্তৃক কৃত কাজ শূন্য, কেননা এই ক্ষুদ্র সরণ ও F_n-এর মধ্যবর্তী কোণ 90° । তা হলো ঐ ক্ষুদ্র সরণের জন্য কৃত কাজ।

৬.৮ পরিবর্তনশীল বল কর্তৃক কৃত কাজের উদাহরণ 

Examples of work done by variable force

(ক) স্প্রিং প্রসারণে সম্পাদিত কাজ

মনে করি একটি অনুভূমিক আদর্শ স্প্রিং-এর এক প্রান্ত দেয়ালের সাথে আটকিয়ে অপর প্রান্তে m ভরের একটি বস্তু যুক্ত রয়েছে। বস্তুটি অনুভূমিক এবং ঘর্ষণবিহীন তলের উপর দিয়ে চলাচল করতে পারে।

বস্তুটিকে টেনে স্প্রিং S-কে দৈর্ঘ্য বরাবর বিকৃত করলে স্থিতিস্থাপক ধর্মের দরুন প্রযুক্ত বলের বিপরীত স্প্রিং-এ প্রত্যায়নকারী বলের উদ্ভব হবে। স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্রম না করলে, প্রত্যায়নী বলের মান হুকের সূত্রানুযায়ী দৈর্ঘ্য পরিবর্তনের সমানুপাতিক হবে।

মনে করি F_s, অনুভূমিক বল প্রয়োগে বস্তুটিকে বাম হতে ডান দিকে সরানোর ফলে এর দৈর্ঘ্য অনুভূমিক বরাবর x পরিমাণ বৃদ্ধি পেল। এই ক্রিয়ার দরুন স্প্রিং-এ – kx পরিমাণ প্রত্যায়নী বল উৎপন্ন হবে। কেননা

$F_s\propto x$

বা, $F_s=-kx$  

[এই প্রত্যায়নী বলের দিক বস্তুটির সরণের বিপরীত দিকে হওয়ায় ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহৃত হয়েছে। ]

এখানে k একটি ধ্রুব সংখ্যা। একে স্প্রিং ধ্রুবক (spring constant) বলা হয়।

স্প্রিংটকে প্রসারিত করতে হলে সমমানের বাহ্যিক বল প্রয়োগ করতে হবে। মনে করি প্রযুক্ত বল F। 

$F=-F_s=-\left(kx\right)=kx$

স্প্রিংটিকে x₁ অবস্থান হতে x₂ অবস্থানে প্রসারিত করতে প্রযুক্ত বল কর্তৃক সম্পাদিত কাজের পরিমাণ

এই কাজ ধনাত্মক। সাধিত কাজ স্প্রিং-এর মধ্যে স্থিতিশক্তি হিসেবে সঞ্চিত থাকে। স্প্রিং-এর আদি অবস্থান x₁ = 0 এবং শেষ অবস্থান x₂ = x ধরলে,

  W = $\frac{1}{2}$ x²

অর্থাৎ, সরণের পরিমাণ x হলে সঞ্চিত স্থিতিশক্তির পরিমাণ হবে $\frac{1}{2}\overrightarrow{k}{x}^2$। 

(খ) মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে কৃত কাজ

আমরা জানি কোন একটি বৃহদাকার গুরুভার বস্তুর চারদিকে যে স্থান জুড়ে এর আকর্ষণ বল অনুভূত হয়, সেই স্থানকে উক্ত বস্তুর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র বলে।

মনে করি একটি গুরুভার বস্তুর ভর M এবং এর ভারকেন্দ্র O।  O হতে r দূরত্বে Q বিন্দুতে m ভরের একটি বস্তু স্থাপন করি। অতএব OQ = r । মহাকর্ষীয় সূত্র হতে বস্তু দুটির মধ্যে মহাকর্ষীয় বল

  $F_1=G\frac{Mm}{r^2}$

এই বল QO রেখা বরাবর ক্রিয়া করে। Q হতে dr দূরত্বে R একটি বিন্দু বিবেচনা করি। অতএব OR = r + dr_যেহেতু Q ও R বিন্দু দুটি খুবই কাছাকাছি, সেহেতু এই দূরত্বের মধ্যে F₁ ধ্রুব ধরা যায় । ছোট

বস্তুটিকে Q হতে R বিন্দুতে নিতে বাইরের কোন উৎসকে মহাকর্ষীয় বলের বিপরীত দিকে সমপরিমাণের একটি বল প্রয়োগ করতে হবে। ধরি এই বল F₂

:-  $F_2=G\frac{Mm}{r^2}$

এই বল Q হতে R বিন্দুর দিকে ক্রিয়া করবে।

এখন, ছোট বস্তুটিকে Q হতে R বিন্দুতে নিতে বাইরের উৎস কর্তৃক কৃত কাজ

$dW=\overrightarrow{F_2}·d\overrightarrow{r}=F_{2}dr$

বা, $dW=\frac{GMm}{r^2}dr$

ছোট বস্তুটিকে P হতে S বিন্দুতে নিতে কৃত কাজ

$=-GMm\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$

$=-GMm\left[\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right]$

অর্থাৎ W $=-GMm\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$

উক্ত সমীকরণ হতে দেখা যাচ্ছে যে বাইরের উৎস কর্তৃক মহাকর্ষীয় বলের বিপরীতে কাজ ধনাত্মক।