এক ব্যক্তির 12 জন বন্ধু আছে যাদের মধ্যে 8 জন আত্মীয়। তিনি কত প্রকারে 7 জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারেন যাদের মধ্যে 5 জন আত্বীয় থাকবেন?

শর্তাধীন সমাবেশ (Conditional Combination) হলো একটি সমাবেশ নির্ণয়ের পদ্ধতি, যেখানে নির্দিষ্ট কিছু শর্ত প্রয়োগ করা হয়। এটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যখন সমাবেশ তৈরি করতে কিছু নির্দিষ্ট নিয়ম বা শর্ত পূরণ করতে হয়। শর্তাধীনে সমাবেশের প্রয়োগ বিভিন্ন সমস্যায় ব্যবহৃত হয়, যেমন: কিছু নির্দিষ্ট উপাদান অবশ্যই থাকতে হবে বা কিছু উপাদান একসঙ্গে বা আলাদা থাকতে হবে ইত্যাদি।

শর্তাধীন সমাবেশের উদাহরণ ও প্রয়োগ

শর্তাধীন সমাবেশের বিভিন্ন প্রয়োগে বিভিন্ন শর্ত থাকা সম্ভব। নিচে এর কয়েকটি উদাহরণ ও প্রয়োগ তুলে ধরা হলো:

উদাহরণ ১: নির্দিষ্ট উপাদান অবশ্যই থাকবে

ধরা যাক, আমাদের কাছে \(5\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D,\) এবং \(E\)। আমরা \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) অবশ্যই নির্বাচিত হবে।

এক্ষেত্রে, \(A\) থাকলে বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(2\)টি বস্তু নির্বাচন করতে হবে।

\[
C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times (4 - 2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]

অর্থাৎ, \(A\) থাকা অবস্থায় বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(2\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৬টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ২: নির্দিষ্ট উপাদান থাকতে পারবে না

ধরা যাক, \(5\)টি বস্তু (\(A, B, C, D, E\)) থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে হবে, তবে শর্ত হলো \(B\) নির্বাচন করা যাবে না।

এক্ষেত্রে, বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তু নির্বাচন করতে হবে।

\[
C(4, 3) = \frac{4!}{3! \times (4 - 3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4
\]

অর্থাৎ, \(B\) বাদ দিয়ে বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৪টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ৩: নির্দিষ্ট দুটি উপাদান একসাথে থাকবে

ধরা যাক, \(6\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D, E, F\)। আমরা \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকবে।

যেহেতু \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকবে, সেগুলিকে একত্রে একটি একক উপাদান হিসেবে ধরা যায়। এখন \(A\) এবং \(B\) একত্রে থাকলে মোট \(5\)টি বস্তু (\(AB, C, D, E, F\)) থেকে \(3\)টি সমাবেশ করতে হবে।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]

অর্থাৎ, \(A\) এবং \(B\) একসাথে রেখে বাকি \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ১০টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ৪: নির্দিষ্ট দুটি উপাদান একসাথে থাকতে পারবে না

ধরা যাক, \(6\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D, E, F\)। আমরা \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকতে পারবে না।

এক্ষেত্রে, প্রথমে \(4\)টি বস্তুর সমাবেশের মোট সংখ্যা বের করতে হবে, তারপর \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকার সমাবেশের সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে।

১. \(6\)টি বস্তু থেকে \(4\)টি বস্তুর মোট সমাবেশ:

\[
C(6, 4) = \frac{6!}{4! \times (6 - 4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
\]

২. \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকার সমাবেশের সংখ্যা:

\(AB\) একত্রে ধরে, মোট \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বেছে নিতে হবে।

\[
C(5, 3) = 10
\]

সুতরাং, \(A\) এবং \(B\) একসাথে না থাকার সমাবেশের সংখ্যা:

\[
15 - 10 = 5
\]

অর্থাৎ, \(A\) এবং \(B\) একসাথে না রেখে \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৫টি উপায় রয়েছে।

শর্তাধীন সমাবেশের প্রয়োগ

১. দল গঠন: শর্তাধীনে দল গঠন করতে, যেখানে নির্দিষ্ট কিছু সদস্য অবশ্যই থাকতে হবে বা কিছু সদস্য একসাথে থাকতে পারবে না।

২. কাজের বরাদ্দ: নির্দিষ্ট কাজের দলে নির্দিষ্ট কর্মী রাখতে হবে বা বাদ দিতে হবে এমন ক্ষেত্রে।

৩. গাণিতিক সমস্যা সমাধানে: কম্বিনেটরিক্স বা সম্ভাবনা সমস্যায় নির্দিষ্ট শর্ত পূরণের সমাধানে শর্তাধীন সমাবেশ ব্যবহার করা হয়।

উপসংহার

শর্তাধীন সমাবেশের মাধ্যমে বিভিন্ন বাস্তব পরিস্থিতিতে নির্দিষ্ট শর্ত মেনে সমাবেশ তৈরি করা সহজ হয়। এটি কম্বিনেটরিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়, যেখানে নির্দিষ্ট শর্ত মেনে নির্বাচন করতে হয়।