করিম একটি কাজ ৩৬ দিনে, রহিম ১৮ দিনে এবং গফুর ১২ দিনে করতে পারে। প্রতি দ্বিতীয় দিনে রহিম এবং প্রতি তৃতীয় দিনে গফুর করিমকে সাহায্য করলে এই কাজটি কত দিনে সম্পন্ন হবে?

প্রথমে, প্রত্যেকের ১ দিনের কাজের অংশ বের করি:

    
• করিমের ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{36}\) অংশ
    
• রহিমের ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{18}\) অংশ
    
• গফুরের ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{12}\) অংশ

প্রশ্নানুসারে, করিম প্রতিদিন কাজ করে। রহিম প্রতি দ্বিতীয় দিনে এবং গফুর প্রতি তৃতীয় দিনে করিমকে সাহায্য করে। রহিম সাহায্য করে ২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ ইত্যাদি দিনে। গফুর সাহায্য করে ৩য়, ৬ষ্ঠ, ৯ম ইত্যাদি দিনে। এই প্যাটার্নটি ৬ দিনে (২ এবং ৩ এর ল.সা.গু.) পুনরাবৃত্তি হয়।

তাহলে, একটি ৬ দিনের চক্রে মোট কত কাজ হয় তা বের করা যাক:

১ম দিন: শুধু করিম কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36}\) অংশ

২য় দিন: করিম ও রহিম একসাথে কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{1+2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) অংশ

৩য় দিন: করিম ও গফুর একসাথে কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1+3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\) অংশ

৪র্থ দিন: করিম ও রহিম একসাথে কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{1+2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) অংশ

৫ম দিন: শুধু করিম কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36}\) অংশ

৬ষ্ঠ দিন: করিম, রহিম ও গফুর তিনজন একসাথে কাজ করে।

কাজের পরিমাণ = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) অংশ

এখন, এই ৬ দিনের চক্রে মোট কাজের পরিমাণ:

মোট কাজ = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{12} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{36} + \frac{1}{6}\)

= \(\frac{1+3+4+3+1+6}{36}\) (ল.সা.গু. হল ৩৬)

= \(\frac{18}{36}\)

= \(\frac{1}{2}\) অংশ

অর্থাৎ, প্রতি ৬ দিনে কাজের \(\frac{1}{2}\) অংশ সম্পন্ন হয়।

সুতরাং, সম্পূর্ণ কাজটি (\(1\) অংশ) সম্পন্ন করতে সময় লাগবে:

= \(6 \times 2\) দিন

= \(12\) দিন

কাজটি ১২ দিনে সম্পন্ন হবে।