দুটি ধারক C₁ এবং C₂ সমান্তরালে সংযুক্ত থাকলে তাদের সমতুল্য ধারকত্ব 9 mµF এবং শ্রেণীতে সংযুক্ত থাকলে তাদের সমতুল্য ধারকত্ব 2µF হয়। ধারকদ্বয়ের নিজস্ব ধারকত্ব কত? (Two capacitors C₁ and C₂ are connected in parallel and their equivalent capacitance is measured as 9 µF. When they are connected in series their equivalent capacitance is 2µF . What are the individual capacitances?)

ধারকত্ব (capacitance) হলো বৈদ্যুতিক চার্জ সঞ্চয় করার একটি উপাদানের ক্ষমতা। যখন একাধিক ধারককে বৈদ্যুতিক সার্কিটে সংযুক্ত করা হয়, তখন তাদের মোট বা সমতুল্য ধারকত্ব (equivalent capacitance) সংযোগের ধরনের উপর নির্ভর করে ভিন্ন হয়।

দুইটি প্রধান সংযোগ পদ্ধতি হলো:

    
• সমান্তরাল সংযোগ (Parallel Connection): যখন ধারকগুলো সমান্তরালে সংযুক্ত থাকে, তখন তাদের সমতুল্য ধারকত্ব প্রতিটি ধারকের ব্যক্তিগত ধারকত্বের যোগফলের সমান হয়।
    
• শ্রেণী সংযোগ (Series Connection): যখন ধারকগুলো শ্রেণীতে সংযুক্ত থাকে, তখন তাদের সমতুল্য ধারকত্বের বিপরীত মান (reciprocal) প্রতিটি ধারকের ব্যক্তিগত ধারকত্বের বিপরীত মানের যোগফলের সমান হয়।

বিস্তারিত সমাধান:

ধরা যাক, দুটি ধারকের ধারকত্ব হলো \(C_1\) এবং \(C_2\)।

যখন ধারক দুটি সমান্তরালে সংযুক্ত থাকে, তখন তাদের সমতুল্য ধারকত্ব \(C_p\) হয়:

\(C_p = C_1 + C_2\)

প্রশ্নানুযায়ী, \(C_p = 9 \text{ µF}\)

সুতরাং, \(C_1 + C_2 = 9 \quad \ldots(i)\)

যখন ধারক দুটি শ্রেণীতে সংযুক্ত থাকে, তখন তাদের সমতুল্য ধারকত্ব \(C_s\) হয়:

\(\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\)

\(\frac{1}{C_s} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}\)

\(C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\)

প্রশ্নানুযায়ী, \(C_s = 2 \text{ µF}\)

সুতরাং, \(\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 2 \quad \ldots(ii)\)

এখন, সমীকরণ (i) থেকে \(C_1 + C_2 = 9\) মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই:

\(\frac{C_1 C_2}{9} = 2\)

\(C_1 C_2 = 2 \times 9\)

\(C_1 C_2 = 18 \quad \ldots(iii)\)

এখন আমরা দুটি সমীকরণ পেলাম:

\(C_1 + C_2 = 9\)

\(C_1 C_2 = 18\)

আমরা জানি, \((C_1 - C_2)^2 = (C_1 + C_2)^2 - 4C_1 C_2\)

\((C_1 - C_2)^2 = (9)^2 - 4 \times 18\)

\((C_1 - C_2)^2 = 81 - 72\)

\((C_1 - C_2)^2 = 9\)

\(C_1 - C_2 = \sqrt{9}\)

\(C_1 - C_2 = 3 \quad \ldots(iv)\)

এখন সমীকরণ (i) এবং (iv) যোগ করে পাই:

\((C_1 + C_2) + (C_1 - C_2) = 9 + 3\)

\(2C_1 = 12\)

\(C_1 = \frac{12}{2}\)

\(C_1 = 6 \text{ µF}\)

\(C_1\) এর মান সমীকরণ (i)-তে বসিয়ে পাই:

\(6 + C_2 = 9\)

\(C_2 = 9 - 6\)

\(C_2 = 3 \text{ µF}\)

সুতরাং, ধারকদ্বয়ের নিজস্ব ধারকত্ব হলো 6 µF এবং 3 µF।

আমরা বিকল্পগুলো ব্যবহার করেও সমাধান যাচাই করতে পারি। যে বিকল্পের দুটি ধারকত্ব যোগ করলে 9 µF এবং তাদের গুণফলকে যোগফল দিয়ে ভাগ করলে 2 µF আসে, সেটিই সঠিক হবে।

    
• বিকল্প 1: 1µF, 8µF         
              
  • সমান্তরালে: \(1 + 8 = 9 \text{ µF}\) (সঠিক)
              
  • শ্রেণীতে: \(\frac{1 \times 8}{1 + 8} = \frac{8}{9} \approx 0.89 \text{ µF}\) (সঠিক নয়)
          
      
    
• বিকল্প 2: 2µF, 7µF         
              
  • সমান্তরালে: \(2 + 7 = 9 \text{ µF}\) (সঠিক)
              
  • শ্রেণীতে: \(\frac{2 \times 7}{2 + 7} = \frac{14}{9} \approx 1.56 \text{ µF}\) (সঠিক নয়)
          
      
    
• বিকল্প 3: 6µF, 3µF         
              
  • সমান্তরালে: \(6 + 3 = 9 \text{ µF}\) (সঠিক)
              
  • শ্রেণীতে: \(\frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \text{ µF}\) (সঠিক)
          
      
    
• বিকল্প 4: 5µF, 4µF         
              
  • সমান্তরালে: \(5 + 4 = 9 \text{ µF}\) (সঠিক)
              
  • শ্রেণীতে: \(\frac{5 \times 4}{5 + 4} = \frac{20}{9} \approx 2.22 \text{ µF}\) (সঠিক নয়)
          
      

সুতরাং, বিকল্প 3 উভয় শর্ত পূরণ করে।