নিচের কোন ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল ?

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ (Types, Addition & Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স হলো সারি (Row) ও স্তম্ভ (Column) আকারে সাজানো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস। সাধারণত ম্যাট্রিক্সকে বড় হাতের ইংরেজি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেমন A, B, C ইত্যাদি।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

এখানে, a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ হলো ম্যাট্রিক্সের উপাদান।

ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of Matrix)

কোনো ম্যাট্রিক্সে যতগুলো সারি ও স্তম্ভ থাকে তাকে ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলে।

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ থাকে তবে ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে:

$m\times n$

উদাহরণ

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$

এখানে সারি = 2 এবং স্তম্ভ = 3 অতএব, ম্যাট্রিক্সটির ক্রম 2 × 3

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Null Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ ছাড়া বাকি সব উপাদান শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right]$

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

৭. স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান সমান তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

৮. সমমিত ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ সেই ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে সমমিত ম্যাট্রিক্স বলে।

$A=A^T$

ম্যাট্রিক্সের যোগ (Addition of Matrix)

সমান ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্সের সমস্থানিক উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

শর্ত

দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম অবশ্যই সমান হতে হবে।

সূত্র

$(A+B{)}_{\mathrm{ij}}=a_{\mathrm{ij}}+b_{\mathrm{ij}}$

উদাহরণ

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

এবং

$B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$

তাহলে,

$A+B=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ (Subtraction of Matrix)

সমস্থানিক উপাদান বিয়োগ করে ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ করা হয়।

$(A-B{)}_{\mathrm{ij}}=a_{\mathrm{ij}}-b_{\mathrm{ij}}$

স্কেলার গুণ (Scalar Multiplication)

কোনো সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করলে স্কেলার গুণ পাওয়া যায়।

সূত্র

$kA=\left[\begin{array}{cc}k{a}_{11}& k{a}_{12}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ (Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স গুণের জন্য প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে।

শর্ত

$A=m\times n,B=n\times p$

তাহলে,

$AB=m\times p$

উদাহরণ

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

এবং

$B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$

তাহলে,

$AB=\left[\begin{array}{cc}1\times 5+2\times 7& 1\times 6+2\times 8\\ 3\times 5+4\times 7& 3\times 6+4\times 8\end{array}\right]$

অর্থাৎ,

$AB=\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$

মনে রাখার উপায়

• যোগ ও বিয়োগের জন্য দুই ম্যাট্রিক্সের ক্রম সমান হতে হবে
• গুণের জন্য প্রথমটির স্তম্ভ সংখ্যা = দ্বিতীয়টির সারি সংখ্যা
• একক ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 1 এর মতো
• শূন্য ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 0 এর মতো