নীচের গাণিতিক বক্তব্য দুটো সঠিক কিনা যাচাই করে উত্তর দাও।

ক. 10% বাড়ানোর পরে আবার ১% বাড়ানো হলে যা পাওয়া যায় সেটা শুরুতে 15% বাড়ানোর সমতুল্য।
খ. একটা বৃত্তের ব্যাসার্ধকে দ্বিগুণ করলে তার ক্ষেত্রফলের সাথে পরিধির যে অনুপাত সেটা দ্বিগুণ হয়।

এখানে দুটি গাণিতিক বক্তব্য যাচাই করতে বলা হয়েছে। আমরা প্রতিটি বক্তব্য আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করব:

বক্তব্য ক. 10% বাড়ানোর পরে আবার ১% বাড়ানো হলে যা পাওয়া যায় সেটা শুরুতে 15% বাড়ানোর সমতুল্য।

ধরি, মূল পরিমাণটি হলো \(P\)।

1. প্রথমে 10% বৃদ্ধি করা হলে, নতুন পরিমাণ হবে:
   \(P + P \times \frac{10}{100} = P (1 + 0.10) = 1.10P\)
2. এরপর আবার 1% বৃদ্ধি করা হলে, নতুন পরিমাণ হবে:
   \(1.10P + (1.10P \times \frac{1}{100}) = 1.10P + 0.011P = 1.111P\)

এখন, যদি শুরুতেই 15% বাড়ানো হতো, তাহলে নতুন পরিমাণ হতো:
\(P + P \times \frac{15}{100} = P(1 + 0.15) = 1.15P\)

যেহেতু \(1.111P \neq 1.15P\), তাই বক্তব্য ক ভুল।

বিকল্প পদ্ধতি (পরপর শতকরা বৃদ্ধির সূত্র):

যদি কোনো কিছু পরপর \(x\%\) এবং \(y\%\) বৃদ্ধি পায়, তবে মোট বৃদ্ধির হার হয় \((x + y + \frac{xy}{100})\%\)।

এখানে \(x = 10\%\) এবং \(y = 1\%\)।

মোট বৃদ্ধির হার = \((10 + 1 + \frac{10 \times 1}{100})\%\)
\( = (11 + \frac{10}{100})\%\)
\( = (11 + 0.1)\%\)
\( = 11.1\%\)

যেহেতু \(11.1\% \neq 15\%\), তাই বক্তব্য ক ভুল।

বক্তব্য খ. একটা বৃত্তের ব্যাসার্ধকে দ্বিগুণ করলে তার ক্ষেত্রফলের সাথে পরিধির যে অনুপাত সেটা দ্বিগুণ হয়।

ধরি, বৃত্তের আদি ব্যাসার্ধ \(r\)।

1. আদি ক্ষেত্রফল \(A_1 = \pi r^2\)
2. আদি পরিধি \(C_1 = 2\pi r\)
3. আদি ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত \(R_1 = \frac{A_1}{C_1} = \frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r}{2}\)

এখন, ব্যাসার্ধকে দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে \(2r\)।

1. নতুন ক্ষেত্রফল \(A_2 = \pi (2r)^2 = \pi (4r^2) = 4\pi r^2\)
2. নতুন পরিধি \(C_2 = 2\pi (2r) = 4\pi r\)
3. নতুন ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত \(R_2 = \frac{A_2}{C_2} = \frac{4\pi r^2}{4\pi r} = r\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি, নতুন অনুপাত \(R_2 = r\)।
আদি অনুপাত \(R_1 = \frac{r}{2}\) এর দ্বিগুণ হলো \(2 \times \frac{r}{2} = r\)।

যেহেতু \(R_2 = 2R_1\), তাই বক্তব্য খ সঠিক।

উপসংহার: বক্তব্য ক ভুল এবং বক্তব্য খ সঠিক।