পাইপ A এবং B একযোগে ১২ ঘণ্টায় একটি ট্যাঙ্ক পূরণ করতে পারে। A পাইপ B পাইপের ১০ ঘণ্টা পূর্বে ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে পারে। B পাইপ দ্বরা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে কত সময় লাগবে?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, পাইপ B দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে \(t\) ঘণ্টা সময় লাগে।

প্রশ্নানুসারে, পাইপ A দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে \(t - 10\) ঘণ্টা সময় লাগে।

একক সময়ে পাইপ A ট্যাঙ্কটির \(\frac{1}{t - 10}\) অংশ পূরণ করতে পারে।

একক সময়ে পাইপ B ট্যাঙ্কটির \(\frac{1}{t}\) অংশ পূরণ করতে পারে।

একযোগে পাইপ A এবং B দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে ১২ ঘণ্টা লাগে।

সুতরাং, তাদের সম্মিলিত একক সময়ের কাজ হবে \(\frac{1}{12}\) অংশ।

আমরা লিখতে পারি:

বাম দিকের ভগ্নাংশ যোগ করি:

আড়াআড়ি গুণ করে পাই:

সমীকরণটিকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজাই:

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল 120 এবং যোগফল -34। সংখ্যা দুটি হলো -30 এবং -4।

সুতরাং, \(t - 30 = 0\) অথবা \(t - 4 = 0\)।

এখান থেকে আমরা পাই, \(t = 30\) অথবা \(t = 4\)।

যদি \(t = 4\) হয়, তাহলে পাইপ A এর সময় হবে \(t - 10 = 4 - 10 = -6\) ঘণ্টা। সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই \(t = 4\) গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি \(t = 30\) হয়, তাহলে পাইপ A এর সময় হবে \(t - 10 = 30 - 10 = 20\) ঘণ্টা। উভয় সময়ই ধনাত্মক, যা গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, পাইপ B দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে 30 ঘণ্টা সময় লাগবে।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এই ধরনের সমস্যায় অপশন টেস্ট একটি কার্যকর পদ্ধতি হতে পারে। আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো থেকে B পাইপের সময় ধরে A এর সময় বের করে তাদের সম্মিলিত সময় ১২ ঘণ্টা হয় কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি।

    
• যদি B পাইপ দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে ২০ ঘণ্টা লাগে (অপশন ১), তবে A এর লাগবে \(20 - 10 = 10\) ঘণ্টা।         একসাথে তারা নেবে: \(\frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20}} = \frac{1}{\frac{2+1}{20}} = \frac{1}{\frac{3}{20}} = \frac{20}{3} \approx 6.67\) ঘণ্টা। এটি ১২ ঘণ্টা নয়।
    
• যদি B পাইপ দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে ২৫ ঘণ্টা লাগে (অপশন ২), তবে A এর লাগবে \(25 - 10 = 15\) ঘণ্টা।         একসাথে তারা নেবে: \(\frac{1}{\frac{1}{15} + \frac{1}{25}} = \frac{1}{\frac{5+3}{75}} = \frac{1}{\frac{8}{75}} = \frac{75}{8} = 9.375\) ঘণ্টা। এটি ১২ ঘণ্টা নয়।
    
• যদি B পাইপ দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে ৩০ ঘণ্টা লাগে (অপশন ৩), তবে A এর লাগবে \(30 - 10 = 20\) ঘণ্টা।         একসাথে তারা নেবে: \(\frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{30}} = \frac{1}{\frac{3+2}{60}} = \frac{1}{\frac{5}{60}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12\) ঘণ্টা। এটি প্রশ্নের শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 30 ঘণ্টা।