বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের কোনো পরিবাহীর ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হলে তার রোধ হবে-

কোনো পরিবাহীর রোধ (Resistance) তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল এবং উপাদানের উপর নির্ভর করে। রোধের সূত্রটি হলো:

\[R = \rho \frac{L}{A}\]

যেখানে,

    
• \(R\) = পরিবাহীর রোধ
    
• \(\rho\) (rho) = উপাদানের রোধাঙ্ক (এটি একটি ধ্রুবক)
    
• \(L\) = পরিবাহীর দৈর্ঘ্য
    
• \(A\) = পরিবাহীর প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল

যদি পরিবাহীর প্রস্থচ্ছেদ বৃত্তাকার হয়, তাহলে তার ক্ষেত্রফল হবে:

\[A = \pi r^2\]

যেখানে, \(r\) = পরিবাহীর ব্যাসার্ধ।

সুতরাং, রোধের সূত্রটি দাঁড়ায়:

\[R = \rho \frac{L}{\pi r^2}\]

এই সমস্যাটিতে বলা হয়েছে যে, পরিবাহীর ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয়েছে। অর্থাৎ, নতুন ব্যাসার্ধ \(r' = \frac{r}{2}\)।

দৈর্ঘ্য \(L\) এবং রোধাঙ্ক \(\rho\) অপরিবর্তিত থাকলে, নতুন রোধ \(R'\) হবে:

\[R' = \rho \frac{L}{\pi (r')^2}\]

এখন \(r' = \frac{r}{2}\) বসিয়ে পাই:

\[R' = \rho \frac{L}{\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2}\]

\[R' = \rho \frac{L}{\pi \frac{r^2}{4}}\]

\[R' = 4 \times \rho \frac{L}{\pi r^2}\]

আমরা জানি, \(R = \rho \frac{L}{\pi r^2}\)। সুতরাং, উপরের সমীকরণে \(R\) বসিয়ে পাই:

\[R' = 4R\]

অর্থাৎ, পরিবাহীর ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হলে তার রোধ 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।