যদি একটি বৃত্ত ও একটি বর্গের পরিসীমা একই হয়, তবে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

ধরা যাক, একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\)।

১. পরিসীমা (Perimeter):

    
• বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = \(2\pi r\)
    
• বর্গের পরিসীমা = \(4a\)

প্রশ্নানুযায়ী, বৃত্ত ও বর্গের পরিসীমা একই।
সুতরাং, \(2\pi r = 4a\)

এই সম্পর্ক থেকে আমরা \(r\) অথবা \(a\) কে একে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

\(r = \frac{4a}{2\pi} = \frac{2a}{\pi}\)  ...(i)
অথবা,
\(a = \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}\)  ...(ii)

২. ক্ষেত্রফল (Area):

    
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল (\(A_c\)) = \(\pi r^2\)
    
• বর্গের ক্ষেত্রফল (\(A_s\)) = \(a^2\)

এখন, আমরা \(A_c\) এবং \(A_s\) এর মধ্যে তুলনা করব। এর জন্য আমরা (ii) নং সমীকরণ থেকে \(a\) এর মান \(A_s\) এর সূত্রে বসাব:

\(A_s = a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}\)

এখন বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A_c = \pi r^2\) এবং বর্গের ক্ষেত্রফল \(A_s = \frac{\pi^2 r^2}{4}\) এর তুলনা করি।

এদের অনুপাত নিলে পাই:

\(\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}}\)

\(\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2 \cdot 4}{\pi^2 r^2}\)

\(\frac{A_c}{A_s} = \frac{4}{\pi}\)

আমরা জানি, \(\pi \approx 3.14159\)।
অতএব, \(\frac{4}{\pi} \approx \frac{4}{3.14159} \approx 1.273\)

যেহেতু \(\frac{A_c}{A_s} = \frac{4}{\pi} > 1\), এর অর্থ হলো \(A_c > A_s\)।

অর্থাৎ, বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি হবে।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল হওয়ার কারণ:

    
• বর্গের ক্ষেত্রফল বৃহত্তর: এটি ভুল, কারণ আমরা দেখলাম বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃহত্তর।
    
• বৃত্ত ও বর্গের ক্ষেত্রফল সমান: এটিও ভুল, কারণ তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 এর সমান নয় (\(\frac{4}{\pi} \ne 1\))।
    
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের \(\pi\)-গুণ হবে: এটি ভুল, কারণ আমরা দেখেছি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের \(\frac{4}{\pi}\)-গুণ হবে, \(\pi\)-গুণ নয়।

সুতরাং, সঠিক তথ্যটি হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃহত্তর।