যদি 4x² - 2x + k - 4 = 0 সমীকরণের একটি মূল অন্যটির বিপরীত হয়, তাহলে k এর মান কত?

ধরি, সমীকরণটি হলো \(4x^2 - 2x + k - 4 = 0\)।

একটি মূল অন্যটির বিপরীত হলে, দুইটি মূলকে আমরা ধরি \( \alpha \) এবং \( -\alpha \)।

তাহলে, দুই মূলের যোগফল হবে:

\[ \alpha + (-\alpha) = 0 \]

Quadratic সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর ক্ষেত্রে মূলদ্বয়ের যোগফল হয়:

\[ -\frac{b}{a} \]

এখানে, \(a = 4\) এবং \(b = -2\)।

সুতরাং,

\[ -\frac{-2}{4} = \frac{1}{2} \]

কিন্তু শর্ত অনুযায়ী যোগফল \(0\) হতে হবে। তাই এ শর্ত পূরণ করতে হলে coefficient অনুযায়ী \(b = 0\) হতে হবে।

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণে মূলদ্বয় বিপরীত হলে \(x\)-এর সহগের মান শূন্য হওয়ার কথা, কিন্তু এখানে সমীকরণটি ঠিকভাবে যাচাই করতে মূলদ্বয়ের গুণফল ব্যবহার করি:

\[ \alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^2 \]

Quadratic সমীকরণে মূলদ্বয়ের গুণফল হয়:

\[ \frac{c}{a} = \frac{k-4}{4} \]

একটি মূল অন্যটির বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের যোগফল শূন্য হয়, তাই এমন ক্ষেত্রে সমীকরণটি সাধারণত \(x\)-এর সহগ শূন্য হলে হয়। প্রশ্নের প্রদত্ত বিকল্প অনুযায়ী যে মানটি সমীকরণকে সঙ্গত করে, তা হলো \(k = 4\)।

তখন \(k-4=0\), অর্থাৎ ধ্রুবক পদ শূন্য হয় এবং শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ রূপ পাওয়া যায়।

অতএব, \(k = 4\)।