যদি n একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড় হতে পারে না?

বিস্তারিত সমাধান:

যে কোনো পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য প্রদত্ত রাশিগুলোর মান জোড় না বিজোড় হবে তা বীজগণিতীয় নিয়ম অনুযায়ী বিশ্লেষণ করা যাক:

\(2n + 2\) রাশিটির ক্ষেত্রে:
আমরা জানি, যে কোনো পূর্ণসংখ্যাকে \(2\) দিয়ে গুণ করলে গুণফল সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা (Even Number) হয়।
অতএব, \(2n\) রাশিটি সর্বদা জোড়।
আবার, একটি জোড় সংখ্যার সাথে অন্য একটি জোড় সংখ্যা (\(2\)) যোগ করলে যোগফল সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হয়।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই, \(2n + 2 = 2(n + 1)\)।
যেহেতু রাশিটিতে \(2\) একটি সাধারণ গুণনীয়ক (factor), তাই \(n\)-এর মান জোড় বা বিজোড় যাই হোক না কেন, \(2n + 2\)-এর মান সর্বদা জোড় হবে। এটি কখনোই বিজোড় হতে পারে না।

অন্যান্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:

  
• \(n^2\): \(n = 3\) (বিজোড়) হলে, \(n^2 = 3^2 = 9\) (বিজোড়)। অর্থাৎ এটি বিজোড় হতে পারে।
  
• \(5(n+2)\): \(n = 1\) (বিজোড়) হলে, \(5(1+2) = 5 \times 3 = 15\) (বিজোড়)। অর্থাৎ এটি বিজোড় হতে পারে।
  
• \(7n+3\): \(n = 2\) (জোড়) হলে, \(7(2)+3 = 14+3 = 17\) (বিজোড়)। অর্থাৎ এটিও বিজোড় হতে পারে।

\(n\)-এর মান যেকোনো জোড় বা বিজোড় পূর্ণসংখ্যা ধরে সহজেই পরীক্ষা করা যায়। ধরা যাক, \(n = 1\) (একটি বিজোড় সংখ্যা):

  
• \(n^2 = 1^2 = 1\) (বিজোড়)
  
• \(5(n+2) = 5(1+2) = 15\) (বিজোড়)
  
• \(2n+2 = 2(1)+2 = 4\) (জোড়)
  
• \(7n+3 = 7(1)+3 = 10\) (জোড়)

আবার, \(n = 2\) (একটি জোড় সংখ্যা) বসিয়ে পাই:

  
• \(7n+3 = 7(2)+3 = 17\) (বিজোড়)
  
• \(2n+2 = 2(2)+2 = 6\) (জোড়)

দেখা যাচ্ছে, \(n\)-এর মান জোড় বা বিজোড় যাই বসানো হোক না কেন, \(2n+2\) রাশিটির মান কখনোই বিজোড় হয় না, সর্বদাই জোড় থাকে।