যদি x = t² এবং y = t³ হয় তবে $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$এর মান

এখানে প্রদত্ত আছে:

\[x = t^2\]

\[y = t^3\]

আমাদেরকে \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে আমরা \(x\) এবং \(y\) কে \(t\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করব।

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t\]

\[\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2\]

এখন আমরা চেইন রুল (Chain Rule) ব্যবহার করে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করব:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t\]

এবার আমরা \(\frac{d^2y}{dx^2}\) নির্ণয় করব, যা \(\frac{dy}{dx}\) এর \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ। যেহেতু \(\frac{dy}{dx}\) একটি \(t\) এর ফাংশন, তাই আমাদের আবার চেইন রুল ব্যবহার করতে হবে:

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}\]

আমরা জানি \(\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}t\)। তাহলে, \(\frac{dy}{dx}\) কে \(t\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t\right) = \frac{3}{2}\]

এবং আমরা জানি \(\frac{dx}{dt} = 2t\), সুতরাং \(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2t}\)।

এখন এই মানগুলো \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}\]

সুতরাং, \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর মান \(\frac{3}{4t}\)।