যদি $y = {\tan }^{-1}\frac{a + bx}{b-ax}$ হয়, তাহলে $\frac{dy}{dx}$ = কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\(y = \tan^{-1}\left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)

আমরা জানি, \(\tan^{-1}X + \tan^{-1}Y = \tan^{-1}\left(\frac{X+Y}{1-XY}\right)\)। এই সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য আমরা প্রদত্ত ফাংশনের ভেতরের অংশটিকে উপযুক্ত আকারে সাজাবো।

প্রথমে, ভগ্নাংশের লব ও হরকে \(b\) দ্বারা ভাগ করি:

\(y = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b}+\frac{bx}{b}}{\frac{b}{b}-\frac{ax}{b}}\right)\)

\(y = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{a}{b}x}\right)\)

এখন, যদি আমরা \(X = \frac{a}{b}\) এবং \(Y = x\) ধরি, তাহলে এটি \(\tan^{-1}\left(\frac{X+Y}{1-XY}\right)\) আকারে প্রকাশ করা যায়।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\(y = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) + \tan^{-1}(x)\)

এখন, আমাদের \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করতে হবে। আমরা উভয় পক্ষকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করব:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) + \tan^{-1}(x)\right)\)

অন্তরীকরণের যোগফল সূত্র অনুযায়ী:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right) + \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(x)\right)\)

এখানে, \(\frac{a}{b}\) একটি ধ্রুবক (constant)। আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের অন্তরীকরণ 0 হয়।

সুতরাং, \(\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right) = 0\)

এবং আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}\)

এই মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{1+x^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো \(\frac{1}{1+x^2}\)।