শিক্ষাসফরে যাওয়ার জন্য ৫৭০০ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক শিক্ষার্থী সমান ভাড়া বহন করবে। ৫ জন শিক্ষার্থী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন শিক্ষার্থী ছিল?

ধরি, বাসে মোট শিক্ষার্থী ছিল \( x \) জন।

শর্ত অনুযায়ী, প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সমান ভাড়া বহন করার কথা।

সুতরাং, প্রাথমিকভাবে মাথাপিছু ভাড়া ছিল \( \frac{5700}{x} \) টাকা।

৫ জন শিক্ষার্থী না যাওয়ায়, শিক্ষার্থী সংখ্যা দাঁড়ালো \( (x-5) \) জন।

এখন, মাথাপিছু ভাড়া হবে \( \frac{5700}{x-5} \) টাকা।

প্রশ্নানুযায়ী, ৫ জন শিক্ষার্থী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেয়েছে।

অতএব, নতুন ভাড়া - পুরাতন ভাড়া = ৩ টাকা

\( \frac{5700}{x-5} - \frac{5700}{x} = 3 \)

\( 5700 \left( \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x} \right) = 3 \)

\( 5700 \left( \frac{x - (x-5)}{x(x-5)} \right) = 3 \)

\( 5700 \left( \frac{x - x + 5}{x^2 - 5x} \right) = 3 \)

\( 5700 \left( \frac{5}{x^2 - 5x} \right) = 3 \)

\( \frac{28500}{x^2 - 5x} = 3 \)

\( 28500 = 3(x^2 - 5x) \)

উভয়পক্ষকে ৩ দিয়ে ভাগ করে পাই,

\( 9500 = x^2 - 5x \)

\( x^2 - 5x - 9500 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই,

\( x^2 - 100x + 95x - 9500 = 0 \)

\( x(x - 100) + 95(x - 100) = 0 \)

\( (x - 100)(x + 95) = 0 \)

অতএব, \( x - 100 = 0 \) অথবা \( x + 95 = 0 \)

\( x = 100 \) অথবা \( x = -95 \)

শিক্ষার্থীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, সুতরাং \( x = 100 \)।

অতএব, বাসে প্রাথমিকভাবে ১০০ -৫ = ৯৫ জন শিক্ষার্থী ছিল।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য অপশন টেস্ট (Option Test) একটি কার্যকর পদ্ধতি। যে অপশনটি প্রশ্নোক্ত শর্ত পূরণ করবে, সেটিই সঠিক উত্তর।

আমরা অপশনগুলো পরীক্ষা করি:

• যদি শিক্ষার্থী সংখ্যা ১০০ জন হয়:                    

  • প্রাথমিক মাথাপিছু ভাড়া = \( \frac{5700}{100} = 57 \) টাকা
  • ৫ জন না গেলে শিক্ষার্থী সংখ্যা = \( 100 - 5 = 95 \) জন
  •  নতুন মাথাপিছু ভাড়া = \( \frac{5700}{95} = 60 \) টাকা
  • ভাড়ার পার্থক্য = \( 60 - 57 = 3 \) টাকা
  • এই অপশনটি প্রশ্নের শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১০০ - ৫ = ৯৫ জন।