${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sin 3x \cos 3x dx$  এর মান- 

ব্যাখ্যাঃ

দেওয়া আছে:

${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sin 3x \cos 3x dx$

এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution method) ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, `\( u = \sin(3x) \)`
এখন `\( u \) ` কে `\( x \) ` এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করি:

`\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) \)`

`\( \frac{du}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 \)`

`\( du = 3\cos(3x) dx \)`

`\( \cos(3x) dx = \frac{1}{3} du \)`

ইন্টিগ্রালের সীমা (limits) পরিবর্তন করি:
যখন `\( x = 0 \) `, তখন `\( u = \sin(3 \cdot 0) = \sin(0) = 0 \)`
যখন `\( x = \frac{\pi}{4} \) `, তখন `\( u = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) \)`
`\( \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)`
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

`\[ \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} u \cdot \frac{1}{3} du \]`

`\[ = \frac{1}{3} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} u du \]`

`\[ = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \]`

`\[ = \frac{1}{3} \left( \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \]`

`\[ = \frac{1}{3} \left( \frac{\frac{1}{2}}{2} - 0 \right) \]`

`\[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right) \]`

`\[ = \frac{1}{12} \]`

বিকল্প পদ্ধতি: ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে।
আমরা জানি, `\( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \) `।
সুতরাং, `\( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \) `।
এখানে, `\( \theta = 3x \) `।
তাহলে, `\( \sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2}\sin(6x) \) `।
ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

`\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\sin(6x) dx \]`

`\[ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(6x) dx \]`

আমরা জানি, `\( \int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C \) `।

`\[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{6}\cos(6x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]`

`\[ = -\frac{1}{12} \left[ \cos(6x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]`

`\[ = -\frac{1}{12} \left( \cos(6 \cdot \frac{\pi}{4}) - \cos(6 \cdot 0) \right) \]`

`\[ = -\frac{1}{12} \left( \cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos(0) \right) \]`

`\[ = -\frac{1}{12} (0 - 1) \]`

`\[ = -\frac{1}{12} (-1) \]`

`\[ = \frac{1}{12} \]`

উভয় পদ্ধতিতেই ইন্টিগ্রালের মান `\( \frac{1}{12} \) ` পাওয়া যায়। প্রদত্ত বিকল্পগুলোতে এই মানটি নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে "কোনটিই নয়"।