$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xcosxdx=?$

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলটি হলো:

এই সমাকলটি সমাধানের জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করব।

    

1. প্রতিস্থাপন নির্বাচন:
       ধরি, \(u = \sin x\)

    

2. ডিফারেনশিয়াল নির্ণয়:
       \(u\)-কে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই:
       \(\frac{du}{dx} = \cos x\)
       সুতরাং, \(du = \cos x \, dx\)

    

3. সমাকলনের সীমা পরিবর্তন:
       মূল সীমা ছিল \(x=0\) থেকে \(x=\frac{\pi}{2}\)। এখন \(u\)-এর সাপেক্ষে সীমা পরিবর্তন করতে হবে।
       যখন \(x=0\), তখন \(u = \sin(0) = 0\)।
       যখন \(x=\frac{\pi}{2}\), তখন \(u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\)।

    

4. নতুন সমাকল গঠন:
       \(u = \sin x\) এবং \(du = \cos x \, dx\) প্রতিস্থাপন করে এবং সীমা পরিবর্তন করে সমাকলটি দাঁড়ায়:
       \[\int_{0}^{1} u^2 \, du\]

    

5. নতুন সমাকল নির্ণয়:
       \(u^n\) এর সমাকলন সূত্র \(\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\) ব্যবহার করে:
       \[\int u^2 \, du = \frac{u^{2+1}}{2+1} = \frac{u^3}{3}\]

    

6. সীমা প্রয়োগ:
       এখন, প্রাপ্ত ফলটিতে পরিবর্তিত সীমা \((0\) থেকে \(1\)) প্রয়োগ করি:
       \[\left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{(1)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3}\]     \[ = \frac{1}{3} - 0\]     \[ = \frac{1}{3}\]

সুতরাং, নির্দিষ্ট সমাকলটির মান হলো \(\frac{1}{3}\)।

প্রদত্ত বিকল্পগুলো হলো:

    
1. $\frac{1}{4}$
    
2. $\frac{1}{2}$
    
3. $\frac{3}{5}$
    
4. $\frac{2}{3}$

গণনা করে প্রাপ্ত ফলাফল \(\frac{1}{3}\) এর সাথে কোনো বিকল্পই মেলে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।